Serie e invariante eta para una familia infinita de variedades con grupo de holonomía cíclico de orden potencias de 2

ROBERTO J. MIATELLO; RICARDO A. PODESTÁ

Tandil

Congreso; LX Reunión Anual de la UMA; 2010

Universidad Nacional del Centro

En [1] estudiamos la teoría espectral del operador de Atiyah-Patodi-Singer D en variedades compactas planas de dimension 4k-1. Se puede pensar a D como la restricción del operador clásico de signatura al borde de una variedad de dimensión 4k. En la presente comunicación, introduciremos una familia infinita F de Z_{2^r}-variedades, es decir variedades compactas planas con grupo de holonomía F = Z_{2^r} , r > 1, y de dimensión arbitraria n congruente a 3 modulo 4. Para tales variedades, y usando las fórmulas generales dadas en [1], calcularemos explícitamente la serie eta eta_D(s) y el invariante eta_D(0) asociados a D, mostrando que resultan no triviales.Por otra parte, utilizando el teorema del G-índice, Harold Donnelly ([2]) obtuvo una expresión general (aunque algo complicada), para eta_D(0). En el caso de variedades planas, esta fórmula no siempre resulta de fácil aplicación. Mostraremos que en el caso de la familia F esta expresion puede ser usada, y se obtienen idénticos resultados con las fórmulas de [1] y [2]. Para otrasfamilias conocidas de variedades planas, o bien la fórmula de Donnelly nose aplica o bien eta_D(0) = 0. Referencias[1] Roberto Miatello, Ricardo Podestá, Spectral theory of the Atiyah-Patodi-Singer operator on compact at manifolds, preprint, 22 pag.[2] Harold Donnelly, Eta invariants for G-spaces, Indiana Univ. Math. J. 27 (1978), 889 - 918.