Billares exteriores en los espacios de geodésicas de las formas espaciales de dimensión tres

YAMILE GODOY; MARCOS SALVAI; MICHAEL HARRISON

Seminario; Seminario de Geometría Diferencial; 2020

FAMAF

Dada una curva suave, cerrada y estrictamente convexa $\gamma$ en el plano y un punto $p$ en el exterior de $\gamma$, existen dos líneas tangentes a $\gamma$ por $p$; eligiendo, por ejemplo, la de la derecha desde el punto de vista de $p$, la aplicación billar exterior $B$ en $p$ se define como la reflexión de $p$ en el punto de tangencia. En esta charla presentaremos la definición y algunos de los resultados obtenidos de un billar exterior en el espacio de las geodésicas orientadas de las formas espaciales de dimensión 3. Más precisamente, dada una subvariedad de dimensión 2 compacta y estrictamente convexa $S$ del espacio euclídeo, la esfera o el espacio hiperbólico, definimos un billar exterior en el correspondiente espacio de geodésicas orientadas donde la tabla de billar es el conjunto de todas las geodésicas orientadas que no intersecan a $S$. Este billar exterior resulta ser un difeomorfismo si $S$ satisface la condición más fuerte de ser cuadráticamente convexa. Además, en los casos de la esfera y el espacio hiperbólico, el billar exterior es un simplectomorfismo con respecto a una de las dos formas de Kähler canónicas del respectivo espacio de geodésicas orientadas.