El índice de espacios simétricos.

CARLOS OLMOS

Reunión virtual (debido a la pandemia)

Congreso; virtUMA2020 (Reunión de la Unión Matemática Argentina) sesión de geometría; 2020

Unión Matemática Argentina

En 1980 Onishchik introdujo la noción de índice de un espacio simétrico, esto es la mínima codimensión de una subvariedad totalmente geodésica propia. Él calculó el índice para los espacios simétricos de rango a lo sumo 2. Para rango mayor no era claro en absoluto cómo abordar el problema. En una serie de trabajos en colaboración con Jürgen Berndt, consideramos este problema desde un punto esencialmente geométrico (en el caso de los espacios simétricos excepcionales, la colaboración también incluyó a Juan Sebastián Rodríguez). Ciertos resultados generales nos permitieron calcular el índice para muchas familias de espacios simétricos, pero quedaban tres familias todavía. Cada una de estas familias tiene propiedades geométricas bien diferentes, lo que nos obligaba a usar métodos totalmente diferentes. Finalmente, en un reciente artículo con Jürgen Berndt, logramos resolver completamente el problema de la determinación del índice de todos los espacios simétricos. Esto implica una prueba de la denominada conjetura del índice para espacios simétricos: para cualquier espacio simétrico distinto de G_2/SO(4) y su dual, el índice coincide con el índice reflectivo. Esto es el índice, relativo a subvariedades totalmente geodésicas que además son reflectivas (i.e., existe una subvariedad totalmente geodésica cuyo tangente es el espacio normal; estas subvariedades habían sido clasificadas por Leung en los 70).El índice impone una restricción extra a las conocidas (y obvias) para que un espacio simétrico N admita una inmersión totalmente geodésica en otro M: el índice de N deberá ser menor o igual al de M.