Clasificación de grafos fuertemente regulares equienergéticos con su complemento

RICARDO PODESTÁ; DENIS VIDELA

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Congreso; virtUMA; 2020

Unión Matemática Argentina

Los grafos fuertemente regulares, son una de las familias m ́as estudiadas de grafos regulares. Están muyrelacionados con la teoría de diseños, combinatoria algebraica y códigos cíclicos irreducibles proyectivos.En el caso conexo, están caracterizados espectralmente por ser grafos regulares con sólo tres autovaloresdistintos. La energía de un grafo es la suma de los valores absolutos de sus autovalores (autovalores de sumatriz de adyacencia). Se ha mostrado que es un invariante interesante por sus aplicaciones a la química.Dos grafos se dicen equienergéticos si tienen la misma energía, obviamente si tenemos un par de grafosisospectrales entonces son equienérgeticos. Sin embargo la recíproca es falsa, a comienzos de los 2000?s y a lolargo de estas décadas dos últimas décadas, se hicieron muchas construcciones de familias equienergéticas degrafos no isospectrales usando diferentes operaciones de grafos. Recientemente en 2019, los autores Ramane-Parvathalu-Patil-Ashoka propusieron el problema de encontrar familias de grafos regulares equienerg ́eticoscon su complemento.En esta charla daremos condiciones suficientes y necesarias para que un grafo regular sea equienergéticocon su complemento, en términos de los signos de los autovalores (la mayor ́ıa de las veces).Mostraremos que los grafos fuertemente regulares equienergéticos con su complemento, pertenecen a unade las siguientes subfamilias de grafos fuertemente regulares:1. Multipartitos con clases de multipartición del mismo tamaño. (Caso no primitivo)2. Conference graphs. (Caso primitivo autocomplementario)3. Pseudo-latin square graphs. (Caso primitivo no autocomplementario)Clasificaremos además los grafos fuertemente regulares no isospectrales equienergéticos con su complementoque son Ramanujan.