Degeneraciones y rigidez de álgebras hom-Lie

NADINA ELIZABETH ROJAS; EDISON ALBERTO FERNÁNDEZ CULMA

La Falda

Workshop; IX Encuentro Nacional de Álgebra; 2019

Universidad Nacional de Córdoba y Universidad de Buenos Aires

Una extit{´{a}lgebra hom-Lie} de dimensi´on finita sobre los n´{u}meroscomplejos es una terna $(V,mu,A)$ que consiste deun espacio vectorial complejo de dimensi´{o}nfinita $V$, un mapeo bilineal $mu:Vimes V longrightarrow V$y una transformaci´on lineal $A:Vlongrightarrow V$ quesatisfaceegin{eqnarray} label{skew} mu(X_1,X_2) + mu(X_2,X_1) &=&0 label{HomJac} sum_{au in mathfrak{S}_{3}} operatorname{sign} (au) mu(A X_{au(1)} , mu(X_{au(2)},X_{au(3)})) &=& 0.end{eqnarray}para todo $X_1$, $X_2$ y $X_3$ en $V$. La condici´on (ef{skew})dice que el ´algebra base $(V,mu)$ es antisim´etrica y la identidad dada en (ef{HomJac})es conocida en la literatura como extit{identidad de Jacobi torcida};la cual aparece en el estudio de extit{operadores diferenciales torcidos} y sus relaciones.Denotemos por $operatorname{Hom}^{k}(mathbb{C}^{n},mathbb{C}^{n})$el conjunto de los mapeos $k$-lineales de $mathbb{C}^n$ en $mathbb{C}^n$.Los pares que dotan a $mathbb{C}^{n}$ de una estructura de ´{a}lgebra hom-Lieviven en $operatorname{Hom}^{2}(mathbb{C}^{n},mathbb{C}^{n}) imes operatorname{Hom}^{1}(mathbb{C}^{n},mathbb{C}^{n})$.Denotemos por $operatorname{hom-}mathfrak{L}(n,mathbb{C})$ al conjunto (algebraico)de las ´{a}lgebras hom-Lie$$operatorname{hom-}mathfrak{L}(n,mathbb{C}):=left{egin{array}{l}(mu,A) in operatorname{Hom}^{2}(mathbb{C}^{n},mathbb{C}^{n}) imes operatorname{Hom}^{1}(mathbb{C}^{n},mathbb{C}^{n}):(mathbb{C}^{n},mu,A) mbox{ es una ´algebra hom-Lie}end{array}ight}.$$El grupo general lineal, $mathrm{GL}_n(mathbb{C})$, act´ua sobre $operatorname{hom-}mathfrak{L}(n,mathbb{C})$por extit{cambio de base} y las $mathrm{GL}_n(mathbb{C})$ ´{o}rbitas en $operatorname{hom-}mathfrak{L}(n,mathbb{C})$ parametrizan las ´{a}lgebras hom-Liede dimensi´{o}n $n$ (salvo isomorfismo).De manera an´aloga a lo que ocurre en el estudio de otras extit{variedades de ´{a}lgebras},podemos estudiar las nociones de r´{i}gidez y degeneraciones en el conjunto ${operatorname{hom-}mathfrak{L}}(n,mathbb{C})$y conjuntos algebraicos relacionados:dadas dos estructuras de ´algebras hom-Lie sobre $mathbb{C}^{n}$, $(mu,A)$ y $(lambda,B)$, decimos que $(mu,A)$ se extit{degenera} en $(lambda,B)$ y lo denotamos por $(mu,A) overrightarrow{hspace{0.25cm}{scriptscriptstyle }hspace{0.25cm}} (lambda,B)$, si la estructura $(lambda,B)$ est´a en la clausura Zariski de la $mathrm{GL}_n(mathbb{C})$ ´{o}rbita de $(mu,A)$, $overline{mathrm{GL}_n(mathbb{C}) cdot (mu,A)}^{Z}$. Decimos que una ´{a}lgebra hom-Lie $(mathbb{C}^{n},mu,A)$ es extit{r´igida}, si la $mathrm{GL}_n(mathbb{C})$ ´{o}rbita de $(mu,A)$ es un abierto Zariski de ${operatorname{hom-}mathfrak{L}}(n,mathbb{C})$.En la charla trataremos ambas nociones e introduciremos algunos invariantes de ´algebras hom-Lie que pueden ser usados para abordar problemas relacionados con tales definiciones.