Holonomía de la conexión de Bismut en variedades Vaisman

ADRIÁN ANDRADA; RAQUEL VILLACAMPA

Mendoza

Congreso; Segundo Encuentro Conjunto de la Unión Matemática Argentina y la Sociedad Matemática de Chile; 2019

Una variedad hermitiana (M,J,g) se dice localmente conforme Kähler (LCK) si alrededor de cada punto de M, la métrica g es conforme a una métrica Kähler con respecto a J. Equivalentemente, existe una 1-forma cerrada θ en M tal que dω = θ ∧ ω, donde ω denota la 2-forma fundamental asociada a (J,g), definida por ω(·,·) = g(J·,·). La 1-forma θ se llama la forma de Lee.Una familia muy importante de variedades LCK está dada por aquellas que tienen su forma de Lee paralela (con respecto a la conexión de Levi-Civita ∇g). Estas variedades se denominan variedades Vaisman y poseen propiedades topológicas y geométricas especiales, en particular una relación estrecha con la geometría sasakiana.Por otro lado, toda variedad hermitiana (M^{2n},J,g) admite una única conexión ∇b que cumple ∇bJ = 0, ∇bg = 0 y su torsión Tb es totalmente antisimétrica, es decir, c(X,Y,Z) = g(X,Tb(Y,Z)) es una 3-forma en M. La conexión ∇b es denominada la conexión de Bismut, y posee holonomía contenida en U(n).En este trabajo probamos que la holonomía de la conexión de Bismut en una variedad Vaisman (M^{2n},J,g) está contenida en U(n−1) para todo n, y probamos que es igual a U(n−1) cuando M^{2n} es una variedad de Hopf (difeomorfa a S1 × S^{2n−1}), para n ≥ 3.