La energía de la sección compleja normal de la 2-grassmaniana asociada al producto cruz triple

MARCOS SALVAI; RUTH PAOLA MOAS

Mendoza

Congreso; Reunión Anual de la Unión Matemática Argentina; 2019

Unión Matemática Argentina

Sea G(k,n) la grassmanniana de los subespacios orientados de dimensión k de Rⁿ. Consideramos aplicaciones que asignan a cada P∈G(2,8) una estructura compleja ortogonal J(P) en P^{}. Una tal asignación se puede pensar como una sección del subfibrado esférico unitario Π:E¹→G(2,8) del fibrado vectorial riemanniano E→G(2,8), dondeE={(P,T)∣P∈G(2,8) y T∈Skew_{P}(R⁸)}con Skew_{P}(R⁸)={T∈End (R⁸)∣┊T|_{P}=0 y T es antisimétrica}, que posee una conexión métrica canónica ∇ (el producto interno en cada fibra es el usual: =- tr (ST)). La funcional combadura total está definida para secciones J del fibrado Π:E¹→G(2,8) medianteB(J)=∫_{G(2,8)}‖∇J‖².Esta funcional mide cómo J se aparta de ser paralela y difiere inesencialmente de la funcional energía E, que se aplica a cualquier mapeo suave de G(2,8) en E¹ (no necesariamente a secciones) y cuyos puntos críticos son las aplicaciones armónicas. Los puntos críticos de B se denominan secciones verticalmente armónicas. Sea O el álgebra normada de los octoniones y sea X:O³→O el producto cruz triple. Nuestro trabajo se centra en probar que la sección J definida en [2] medianteJ:G(2,8)→E¹, J(u∧v)=(u∧v,J_{u∧v}) es verticalmente armónica, donde J_{u∧v}(w)=X(u,v,w). Esto generaliza parcialmente, en cierto sentido, resultados conocidos sobre la energía de estructuras casi complejas en la esfera S⁶≅G(1,7) para la estructura canónica dada por el producto cruz octoniónico estándar (comparar con [1]). [1] G. Bor, L. Hernández-Lamoneda, M. Salvai, Orthogonal almost-complex structures of minimal energy, Geom. Ded. 127 (2007) 75--85. [2] T. Fei, Stable forms, vector cross products and their applications in geometry, arXiv:1504.02807v2 [math.DG].