LA CONJETURA DE VERGNE PARA LAS ÁLGEBRAS DE LIE FILIFORMES

SONIA VERA

Córdoba

Seminario; Seminario de Geometría; 2018

Grupo de Geometría Diferencial - FaMAF, UNC

Michèl Vergne estudió la geometría del espacio de productos de Lie nilpotentes e introduce una nueva clase de álgebras nilpotentes, las álgebras de Lie filiformes, aquellas de nilindice máximo. Vergne muestra que un corchete de Lie filiforme arbitrario es isomorfo un corchete de la forma mu_0 + V, donde mu_0(x_0, x_j) = x_j+1 , j=1, 2, ?, n-1, y V es un 2-cociclo asociado a la cohomología de Chevalley de mu_0 . Tal descripción se detalló en la primera parte de la charla.Dentro de la variedad de álgebras de Lie un problema interesante, es el de estudiar las deformaciones y degeneraciones que ocurren en esa variedad. Uno de los problemas naturales en este contexto es el de determinar cuándo un álgebra de Lie es rígida. Poco se sabe sobre la solución a este problema. Un problema abierto desde el año 1970 es la siguiente conjetura la cual se le adjudica a Michele Vergne:CONJETURA: No existen álgebras de Lie nilpotentes rígidas en la variedad de todas las álgebras de Lie de dimensión n.Un corchete de Lie mu es rígido si su órbita, bajo la acción natural de GL(n, C), es un abierto Zariski, es decir, si todo corchete en un entorno de mu es isomorfo a mu.Una familia de corchetes de Lie mu_t con t un número complejo es una deformación lineal de mu, si mu_t = mu + t D, donde D es un 2-cociclo de mu y un álgebra de Lie.La deformación mu_t de mu es no trivial si para todo t pequeño, mu_t no es isomorfo a mu,. En este caso mu no es rígida.En una segunda instancia de la charla mostramos que la conjetura de M. Vergne es cierta para las álgebras de Lie filiformes, para esto, construiremos una deformación lineal particular y mostraremos que es no trivial en la variedad de las álgebras de Lie, más aún en la variedad de las álgebras de Lie filiformes.