Estructura de correlación en el Libor Market Model

KISBYE, NOEMÍ PATRICIA; KAREM MEIER

Buenos Aires

Congreso; Reunión Anual de la Unión Matemática Argentina y la Real Sociedad de Matemática Española; 2017

Unión Matemática Argentina - Real Sociedad de Matemática Española

Una gran variedad de modelos financieros describen la evolución de la curva de rendimientosde bonos cupón cero y la correspondiente curva de tasas forward instantáneas. Sin embargo sóloun número finito de bonos cupón cero son observables y ninguna tasa forwardinstantánea cotiza en el mercado. Sin embargo, a partir de un número finito de bonos cupón ceroes posible definir tasas forward simplemente compuestas usualmente llamadas tasas forwardLibor. El modelo teórico que describe la evolución de estas tasas se denomina Libor MarketModel.Sea $T_0 < T_1 < T_2 < cdots< T_ N$ un conjunto de fechas de vencimientos de bonos cupón cero, ysea $P (t, T_n )$ el precio de un bono en tiempo $t$ que vence en $T_n$ , con $t le T_n$ y $P (T_n , T_n ) = 1$.Denotamos $au_n = T_{n+1} - T_n$ , para $0 le n le N -1$. La tasa forward Libor vista en $t$ para elperíodo $[T_n , T_{n+1} ]$, para $ t < T_n$ está dada por la expresión:$$L(t, T_n , T_{n+1} ) = L_n (t) =rac 1{au_n}left(rac{ P (t, T_{n+1}}{P(t,T_n)}-1ight).$$La dinámica de la tasa forward Libor en la medida spot $Q^B$ sigue el proceso dado por$$dL_n (t) = sigma_n (t)left(mu_n (t), dt + dW^B (t)ight) ,$$donde $W^B$ es un movimiento browniano $m$ dimensional en la medida $Q^B$, y $mu_n$ y $sigma_n$ son procesos $m$-dimensionales adaptados a la filtración generada por ${W^B(t)mid t ge 0}$. Este modelo quedacompletamente determinado por la elección de $sigma_n$ .Una propuesta común para $sigma_n$ es representarlo de la forma $sigma_n(t)=lambda_n(t),phi(L_n(t))$, donde $lambda_n: mathbb Rmapstomathbb R^m$ es determinística y $phi:mathbb R mapsto mathbb R$ es una función homogénea en el tiempo. La determinaciónde $lambda_n$ depende de la estructura de correlación entre los incrementosde las tasas forward $dL_k$ y $dL_j$. Las formas paramétricas $q(cdot,cdot)$ conocidas para determinar esta matriz de correlación $R$:$$R_{kj} = mbox{Corr} (dL_k (t), dL_j (t)) = q(T_k- t, T_j -t).$$reflejan el comportamiento de las correlaciones en mercados desarrollados y por lo tanto cumplen determinadas propiedades tales como positividad, crecimiento a lo largo de diagonales no principales, y otros. No obstante existen mercados donde seobservan correlaciones negativas entre tasas a corto y a largo plazo, como es el caso de las tasasLebac del Banco Central de la República Argentina. En estos casos los modelos conocidos no serían adecuados para la valoración de derivados exóticos que dependen de este tipo de tasas. El objetivo de este trabajo es presentar unaparametrización para la matriz R que permita reflejar comportamientos atípicos en la curva de tasas forward entre tasas de distintos plazos proponiendo una estructura general de la formaq(x,y)= omega f(x,y) + (1-omega) g(x,y),para ciertas funciones f y g simétricas y omega em [0,1].