Sumas de matrices aleatorias Hermitianas y funciones esféricas

A. B. J. KUIJLAARS; ROMÁN, PABLO

Buenos Aires

Congreso; Primer Encuentro Conjunto de la Real Sociedad Matemática Española y la Unión Matemática Argentina; 2017

Recientemente ha habido un gran progreso en el estudio de los autovalores y valores singulares de matrices aleatorias. En particular, en dos trabajos del a\~no 2016, Kieburg y K\"osters [1,2] estudiaron productos de matrices aleatorias por medio del análisis armónico del par de Gelfand (GL(n,ℂ),U(n)). En este trabajo, inspirado en los de Kieburg y K\"osters, estudiamos sumas de matrices aleatorias Hermitianas por medio del análisis armónico del par de Gelfand (U(n)⋉Herm(n),U(n)). Las funciones eféricas tienen expresiones explícitas en términos de determinantes, lo cual lleva a expresiones simples para la transformada esférica y su fórmula de inversión. Aplicamos la transformada esférica a sumas de matrices aleatorias invariantes por transformaciones unitarias y, en el caso de los llamados {\it polynomial ensembles} describimos las funciones de densidad de probabilidad. Para el caso de la suma de una matriz aleatoria con una matriz del Laguerre Unitary Ensemble obtenemos expresiones detalladas.[1] M. Kieburg and H. K\"osters, Exact relation between singular value and eigenvalue statistics, Random Matrices: Theory Appl. 5 (2016), 1650015, 57 pp.[2] M. Kieburg and H. K\"osters, Products of random matrices from polynomial ensembles, arXiv:1601.03724.[3] A. Kuijlaars, P. Román, Spherical Functions Approach to Sums of Random Hermitian Matrices, International Mathematics Research Notices, (2017), rnx146, https:/doi.org/10.1093/imrn/rnx146.