Holonomía de la conexión de Bismut en solvariedades Vaisman

RAQUEL VILLACAMPA; ADRIÁN ANDRADA

Buenos Aires

Congreso; Primer Encuentro RSME - UMA; 2017

UMA - Universidad de Buenos Aires

Una variedad hermitiana (M,J,g) se dice localmente conforme KÄhler (LCK) si alrededor de cada punto de M, la métrica g es conforme a una métrica Kähler con respecto a J. Equivalentemente, existe una 1-forma cerrada $\theta$ en M tal que $d\omega=\theta\wedge\omega$, donde $\omega$ denota la 2-forma fundamental asociada a (J,g), definida por $\omega(\cdot,\cdot)=g(J\cdot,\cdot)$. La 1-forma $\theta$ se llama la forma de Lee. Una familia muy importante de variedades LCK está dada por aquellas que tienen su forma de Lee paralela (con respecto a la conexión de Levi-Civita $\nabla^g$). Estas variedades se denominan variedades Vaisman y han sido muy estudiadas recientemente.Por otro lado, toda variedad hermitiana (M^{2n},J,g) admite una única conexión $\nabla^b$ que cumple $\nabla^bJ=0$, $\nabla^bg=0$ y su torsión $T^b$ es totalmente antisimétrica, es decir, $c(X,Y,Z)=g(X,T^b(Y,Z))$ es una 3-forma en M. La conexi\'on $\nabla^b$ es denominada la conexión de Bismut, y posee holonomía contenida en U(n). En este trabajo estudiamos la holonomía de la conexión de Bismut en solvariedades Vaisman, es decir, en cocientes compactos de la forma $\Gamma\backslash G$, donde G es un grupo de Lie soluble simplemente conexo, y $\Gamma$ es un subgrupo discreto de G. Se asume que la estructura Vaisman en $\Gamma\backslash G$ está inducida por una estructura Vaisman invariante a izquierda en G.En este caso, probamos que la holonomía (restringida) de $\nabla^b$ se reduce a un subgrupo de dimensión 1 de U(n), que no está contenido en SU(n). Para demostrarlo, exhibimos primero algunos resultados generales sobre la conexión de Bismut en variedades Vaisman arbitrarias, y luego utilizamos la caracterización de las álgebras de Lie unimodulares solubles que admiten estructuras Vaisman.