La distribución de pesos de códigos cíclicos definidos por formas cuadráticas y curvas optimales asociadas

RICARDO PODESTA; DENIS E. VIDELA

Buenos Aires

Congreso; RSME-UMA 2017; 2017

Los códigos cíclicos son una de las familias más importantes de códigos lineales. En esta charla, introduciremos ciertos códigos cíclicos definidos a través de formas cuadráticas en varias variables sobre FqFq (el cuerpo finito de qq elementos) de la forma Q(x)=Trqm/q(S(x)R(x))Q(x)=Trqm/q(S(x)R(x)) donde S,RS,R son polinomios linealizados y Trqm/qTrqm/q denota la función traza de FqmFqm en FqFq. Usando sumas exponenciales, que podemos calcular explícitamente, veremos que la distribución de pesos de estos códigos queda totalmente determinada por m,qm,q y la distribución de rangos y tipos de dichas formas cuadráticas. t \smallskip Luego, para cada ℓ∈Nℓ∈N fijo, consideraremos la formas cuadrática particular dada porQλ(x)=Trm(λxqℓ+1),λ∈FqmQλ(x)=Trm(λxqℓ+1),λ∈Fqm(o sea S(x)=xS(x)=x, R(x)=λxqℓR(x)=λxqℓ), en el caso m/(m,ℓ)m/(m,ℓ) es par. %, ya sea para qq par como para para qq impar. Veremos que es posible encontrar las distribuciones de los rangos de esta familia {Qλ}{Qλ} de formas cuadráticas. Esto permitirá calcular la distribución de pesos de 3 familias de códigos cíclicos C,C1,C2C,C1,C2, donde CC es el código irreducible con cero α−(qℓ+1)α−(qℓ+1), y C1C1 y C2C2 son códigos cíclicos reducibles obtenidos de CC agregando los ceros α−1α−1 y α−1,1α−1,1, respectivamente (donde αα es un elemento primitivo de FqmFqm). t \smallskip Como aplicación, cuando ℓ∣mℓ∣m y m/(m,ℓ)m/(m,ℓ) es par, encontraremos la cantidad de curvas de tipo Artin-Schreieryp−y=λ1xpℓ+1+λ2x; λ1,λ2∈Fpmyp−y=λ1xpℓ+1+λ2x; λ1,λ2∈Fpmque son optimales (maximales o minimales), es decir que satisfacen alguna igualdad en la cota de Hasse-Weil. \smallskip Finalmente, si el tiempo lo permite, mostraremos cómo producir grafos de Ramanujan a partir de la forma cuadrática Qλ(x)Qλ(x) en el caso binario (q=2q=2). Más generalmente, veremos que la construcción mencionada es posible para funciones de la forma F(x)=Trqm/q(f(x))F(x)=Trqm/q(f(x)), donde f(x)f(x) es cualquier función no-lineal casi perfecta (APN, almost perfect nonlinear) monomial de FqmFqm.t \ Esta charla está basada en un trabajo en curso con mi director Ricardo Podestá, que es parte de la tesis doctoral que presentaré en marzo del año próximo. tAutores: Videla, Denis / Podesta, Ricardo.