Espacios k-D'Atri de tipo de Iwasawa

MARÍA J. DRUETTA

Mar del Plata

Congreso; LIX Reunión de Comunicaciones Científicas UMA; 2009

Unión Matemática Argentina

Una variedad riemanniana completa M (de dimensión n) se dice que es un espacio de D´Atri de tipo k, o k-D´Atri, si localmente las simetrÍas geodésicas preservan la k-ésima función elemental  asociada a los autovalores de los operadores de forma de esferas geodésicas de radio pequeño. Esto es, S(k)(v,t)=S(k)(-v,t); para todo v en SM.  Recordamos que las k funciones simétricas elementales S(k)(A), k=1,...,n, de los autovalores de un  operador A están definidas por el polinomio característico p(x) asociado a A, como el coeficiente de la potenecia (n-k)-ésima de x salvo el factor (+1) o (-1) según k. Mas aún, si a(v,t) denota la geodésica unitaria con a(v,0)=m, y velocidad inicial v, el operador de forma de la esfera geodésica de centro m y radio t>0, en el punto a(v,t) es el operador B(b,t)= A´(v,t)A(v,t)* con A(v,t)* el inverso de A(v,t). En este contexto A(v,t) es el tensor de Lagrange asociado a dicha geodésica y determinado por la condición inicila A(v,0)=0 y A´(v,0)=Id.  Notamos que la propiedad 1-D´Atri es la definción de espacio de D´Atri: tr B(v, t)=tr B(-v,t)Estudiamos la geometría de los espacios k-D´Atri en general y damos relaciones con los operadores de curvatura y sus k-derivadas covariantes a lo largo de geodésicas. En particular, las propiedades 1-D´Atri y 2-D´Atri son equivalentes. Consideramos el caso de espacios homogéneos de tipo de Iwasawa y rango arbitrario. En particular, los espacios simétricos en la clase de Damek-Ricci se caracterizan por satisfacer la condición 3-D´Atri. Probamos,       Teorema: Sea M un espacio homogéneo de tipo de Iwasawa y dim n. M  es un espacio k- D´Atri para todo k=1,...,,n-1 si y sólo si M es un espacio simétrico de tipo no compacto.  Este resultado fue probado por Vanhecke y Nicolodi (2006) con hipótesis mas fuertes: M un espacio localmente simétrico y k-armónico para k=1,...,n-1.