Geodésicas magnéticas de la variedad de rectas orientadas del espacio euclídeo de dimensión tres

YAMILE GODOY, MARCOS SALVAI

Mendoza, Argentina

Congreso; Reunión anual de la Unión Matemática Argentina; 2008

Unión Matemática Argentina

egin{document} egin{center}igskip extbf{Geodésicas magnéticas de la variedad de rectasorientadas del espacio eucl´{i}deo de dimensión tres}medskip Autores: Yamile Godoy,  Marcos Salvai.end{center} Sea $left( M,J ight) $ una variedad pseudo-riemanniana Kähler (como esusual, consideramos la geometr´{i}a riemanniana como un caso particular dela pseudo-riemanniana). Se dice que una curva $gamma $ en $M$ es una geod%ésica magnética de $M$ si satisface la ecuación $ abla _{gamma^{prime }}gamma ^{prime }=Jleft( gamma ^{prime } ight) $. Adachi etal. [1] hallaron una expresión para tales curvas en espacios simé%tricos hermitianos compactos. Nosotros, en primer lugar, proveemos unaprueba alternativa de la validez de dicha expresión, derivándola (enun caso ligeramente más general) de las ecuaciones de O´Neill para laderivada covariante en el contexto de submersiones pseudo-riemannianas [3].En segundo lugar, la aplicamos a la variedad $mathcal{L}$ de las rectasorientadas de $Bbb{R}^{3}$, munida de la estructura pseudo-hermitiana can%ónica, de signatura (2,2) [2,4]. Notar que una curva en $mathcal{L}$determina una superficie reglada en $Bbb{R}^{3}$; por ejemplo, es conocidoque las geodésicas de $mathcal{L}$ describen planos o helicoides.Mostramos que la superficie de $Bbb{R}^{3}$ asociada a una geodésicamagnética de $mathcal{L}$ es un cono o bien la superficie regladadescripta por el campo binormal de una hélice en $Bbb{R}^{3}$. igskip oindent extbf{Referencias } extbf{ extrm{medskip }} extbf{ extrm{ oindent [1] T. Adachi, S. Maeda, S. Udagawa, extsl{%Simpleness and closedness of circles in compact Hermitian symmetric spaces},Tsukuba J. Math. extbf{24 }(2000) 1--13. }} extbf{ extrm{medskip }} extbf{ extrm{ oindent [2] B. Guilfoyle and W. Klingenberg, extsl{Anindefinite Kähler metric on the space of oriented lines}, J. LondonMath. Soc. extbf{72} (2005) 497--509. }} extbf{ extrm{medskip }} extbf{ extrm{ oindent [3] B. O´Neill, extsl{Submersions and geodesics}%, Duke Math. J. extbf{34} (1967) 363--373. }} extbf{ extrm{medskip }} extbf{ extrm{ oindent [4] M. Salvai, extsl{On the geometry of thespace of oriented lines of Euclidean space}, Manuscr. Math. extbf{118}(2005) 181--189. }} end{document}