Division algebras and parabolic subalgebras

A. KAPLAN

Valparaiso

Encuentro; SUMA 2016; 2016

Sociedad de Matemática de Chile y Unión Matemática Argentin

El resultado principal tiene una versi´on f´acil de enunciar, digamos sobre $mathbb R$: toda ´algebra de Lie simple no-compacta distinta de las so(n,1) contiene un subgrupo parabolico cuyo nilradical es una ´algebra de Heisenberg sobre los reales, complejos, cuaterniones u octoniones. La sub´algebra parab´olica es ´unica modulo conjugaci´on. Este resultado no est´a en la literatura, tiene consecuencias interesantes en varias ´areas, y vale sobre cuerpos m´as generales as´i como para grupos algebraicos y de Lie. La estructura de ´algebra de divisi´on determina simetr´ias especiales en los objetos asociados. Esto asigna una geometr´ia parab´olica en $G/P$ a (casi) todo grupo simple.  Los G/P son su estructura constituyen el ``infinito conforme´´ de ciertas m´etricas de Einstein  [AB][Maldacena]), espec´ificamente las el espacio de Damek-Ricci asociado AN. La peculiaridad reside en que, mientras son tipicamente anisotr´opicas, en algunos casos a´un son asintoticamente Einstein. Esta ``correspondencia AdS/CFT´´ tiene una consecuencia importante para el an´alisis arm´onico en espacios anisotr´opicos como esos.