Series discretas de grupos de Lie simples con restricción a SL(2,R) admisible

JORGE VARGAS, ; ESTHER GALINA

Santa Fé

Congreso; LXIV Reunión Anual de la Unión Matemática Argentina; 2015

Unión Matemática Argentina

Sea $G$ un grupo de Lie de matrices simple conexo y sea $K$ un subgrupo compacto maximal fijo de $G$ con igual rango. Sea $T subset K$ un toro maximal fijo, por lo tanto $T$ es un subgrupo de Cartan compacto de $G$. Bajo estas hip´otesis, Harish-Chandra mostr´o que existen representaciones irreducibles unitarias de $G$ tal que sus coeficientes matriciales son de cuadrado integrable con respecto a una medida de Haar de $G$. Sea $H$ la imagen de un morfismo continuo no trivial de $SL_2(mathbb R)$ en $G$. En este trabajo determinamos las representaciones de cuadrado integrable irreducibles de $G$ cuya restricci´on a $H$ es admisible. M´as a´un, obtenemos los siguientes resultados.igskip extbf{Teorema 1.} Si existe una representaci´on irreducible de cuadrado integrable $pi$ de $G$ y un subgrupo $H$ localmente isomorfo a $SL_2(mathbb R)$ tal que la restricci´on de $pi$ a $H$ es una representaci´on admisible, entonces $G/K$ es un espacio sim´etrico Hermitiano y $pi$ es una representaci´on holomorfa de $G$.igskipKostant y Rallis probaron que una sub´algebra $mathfrak{g}$ isomorfa a $mathfrak{sl}_2(mathbb R) $ es conjugada por un elemento de $G$ a una sub´algebra $mathfrak{h}$ cuya complexificaci´on est´a generada por un triple normal, o un KS-triple, con ciertas propiedades. Nosotros obtuvimos un ejemplo expl´icito de KS-triple ${Z_0, E_0, F_0}$ para el cual vale lo siguiente, donde $H_0$ es el correspondiente subgrupo de $G$ asociado a ese KS-triple.igskip extbf{Teorema 2.} a) La restricci´on a $H_0$ de cualquier representaci´on irreducible de cuadrado integrable de $G$ es admisible.b) Si la restricci´on a un subgrupo $H$ localmente isomorfo a $Sl_2(mathbb R)$ de una representaci´on irreducible de cuadrado integrable de $G$ es admisible, entonces $H$ es conjugado por un elemento de $G$ a $H_0$.Por otro lado se obtienen f´ormulas de multiplicidad de estas restricciones admisibles, con expresiones concretas para cada uno de los grupos de Lie simples. Para ello aplicamos las f´ormulas de multiplicidad obtenidas en [DV] en el caso particular del par $(G,H_0)$.De un trabajo de M. Vergne, Jacobsen, Oshima and Mollers, por una referencia ver [OM], se sigue que la restricci´on a $H_0$ de una representaci´on irreducible de cuadrado integrable holomorfa es una suma discreta de Hilbert de representaciones holomofas. Nosotros obtenemos el mismo resultado con una prueba independiente, pero nuestra contribuci´on es determinar expl´icitamente los par´ametros de Harish-Chandra $H_0$ que contribuyen en esa suma con sus respectivas multiplicidades.