Sobre el problema del G-isomorfismo de álgebras de Lie

EDISON ALBERTO FERNÁNDEZ CULMA

Santa Fe

Congreso; UMA2015 - LXIV reunion de comunicaciones cientificas; 2015

Unión Matemática Argentina

{Sean $V=\Lambda^{2}(\mathbb{R}^{n})^{\ast}\otimes\mathbb{R}^{n}$ y $\mathrm{G}$ un subgrupo de$\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ (en el mejor de los casos, $\mathrm{G}$ es el subgrupo de Lie de$\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ que preserva alg\'{u}n tensor sobre $\mathbb{R}^{n}$). Consideremosla acci\'{o}n natural de $\mathrm{G}$ sobre $V$ dada por \textit{cambio de base}; e.d. si $\mu\in V$y $g \in \mathrm{G}$, $g\cdot \mu (x,y) = g\mu(g^{-1}x,g^{-1}y)$ para todo $x,y \in \mathbb{R}^{n}$.Dados $\lambda$ y $\mu$ en $V$, estos se dicen \textit{$\mathrm{G}$-isomorfos} si $\lambda$ est\'{a}en la $\mathrm{G}$-\'{o}rbita de $\mu$, y decimos que $\mu$ se \textit{$\mathrm{G}$-degenera} en$\lambda$ si $\lambda$ est\'{a} en la clausura de la $\mathrm{G}$-\'{o}rbita de $\mu$ (clausuracon respecto a la topolog\'{i}a usual de $V$).Notemos que en $V$ viven los posibles corchetes de Lie que definen una estructura de \'{a}lgebra deLie sobre $\mathbb{R}^{n}$ y que las anteriores definiciones est\'{a}n relacionadas con la clasificaci\'{o}ny deformaci\'{o}n de estructuras geom\'{e}tricas sobre grupos de Lie (es bien sabidoque ambos problemas son dif\'{i}ciles a\'{u}n en el caso que $\mathrm{G}=\mathrm{GL}_n(\mathbb{R}$)).En la charla introduciremos nuevos invariantes de \'{a}lgebras de Lie para estudiarel problema del $\mathrm{G}$-isomorfismo y la $\mathrm{G}$-degeneraci\'{o}n. Tambi\'{e}n clasificaremoslas $\mathrm{GL}_2(\mathbb{C})$-degeneraciones en el conjunto (algebraico) de las\'{a}lgebras de Lie de dimensi\'{o}n $4$ admitiendo una estructura compleja y dicho sea de paso,usamos nuestros invariantes para clasificar aquellas que son \textit{r\'{i}gidas};e.d. que tienen una \'{o}rbita abierta en dicho conjunto con respecto a la topolog\'{i}a relativa.}