Fibración holomorfa asociada a una nilvariedad compleja abeliana

A. ANDRADA, M.L. BARBERIS, I. DOTTI

Mendoza

Congreso; LVIII Reunión Anual de la Unión Matemática Argentina; 2008

Universidad Nacional de Cuyo y Unión Matemática Argentina

Una estructura compleja abeliana en un álgebra de Lie real $\frak g$ es un endomorfismo $J$ de $\frak g$ que satisface \begin{equation} J^2=-I, \hspace{1.5cm} [Jx,Jy]=[x,y], \; \;\; \forall x,y \in \frak g. \label{abel} \end{equation} Si $G$ es un grupo de Lie con álgebra de Lie $\frak g$, estas condiciones implican la integrabilidad de $J$ en $G$, es decir, $(G,J)$ es una variedad compleja tal que las traslaciones a izquierda son difeomorfismos holomorfos de $G$. Si $\Gamma \subset G$ es un subgrupo discreto co-compacto arbitrario de $G$, entonces diremos que la nilvariedad $\Gamma \backslash G$ con la estructura compleja inducida por $J$ es una nilvariedad compleja abeliana. Una descomposición $\frak g = \frak g_+ \oplus \frak g _- $, donde $\frak g _±$ son subálgebras de Lie de $\frak g$, da origen a una estructura producto $E$ definiendo $E\mid \frak g_±=\pm $Id. Una estructura compleja-producto en $\frak g$ es un par $\{J, E\}$ formado por una estructura producto $E$ y una estructura compleja $J$ tales que $JE=-EJ$. Las estructuras complejas abelianas en álgebras de Lie fueron consideradas por primera vez en \cite{bdm} y han sido estudiadas posteriormente en \cite{ba-do}. La motivación proviene de las propiedades que poseen las variedades complejas obtenidas al considerar esta clase de estructuras. Por ejemplo, en \cite{AD} se da un método para construir estructuras simplécticas en $\Bbb R^{4n}$ a partir de estructuras complejas-producto abelianas. El objetivo de este trabajo es mejorar los resultados de \cite{ba-do}. Demostramos que toda nilvariedad con una estructura compleja abeliana admite una fibración holomorfa sobre un toro, con fibra dada por una nilvariedad con una estructura producto-compleja abeliana. Exhibimos una familia de ejemplos como aplicación de este resultado. \begin{thebibliography}{BDM} \frenchspacing \bibitem[AD]{AD} A. Andrada, I. Dotti, {\it Double products and hypersymplectic structures on $\Bbb R^{4n}$}, Communications in Math. Physics, {\bf 262} (2006), 1--16. \bibitem[BDM]{bdm} M. L. Barberis, I. G. Dotti, R. J. Miatello, {\it On certain locally homogeneous Clifford manifolds}, Ann. Glob. Anal. Geom. {\bf 13} (1995), 289--301. \bibitem[BD]{ba-do} M. L. Barberis, I. Dotti, {\it Abelian complex structures on solvable Lie algebras}, J. Lie Theory {\bf 14} (2004), 25--34. \end{thebibliography}