Funciones Algebraicas

CAMPERCHOLI, MIGUEL; VAGGIONE, DIEGO

Mendoza

Congreso; Reunión Anual de la UMA; 2008

Unión Matemática Argentina

    Sea A un álgebra, y sean t_{i}(x₁,...x_{n},z₁,...,z_{m}),s_{i}(x₁,...x_{n},z₁,...,z_{m}), i=1,...,k, términos tales que el sistema de ecuaciones    t₁(x,z) =s₁(x,z)     ⋮    t_{k}(x,z) =s_{k}(x,z)tiene una única solución b∈A^{m} para cada a∈Aⁿ. Un sistema con estas propiedades define implicitamente m funciones f₁,...,f_{m}:Aⁿ→A, donde (f₁(a),...,f_{m}(a)) es el único b∈A^{m} que cumple    t_{i}(a,b)=s_{i}(a,b), i=1,...,k.Una función f:Aⁿ→A será algebraica en A si es posible definirla implicitamente por un sistema de ecuaciones en la manera arriba descripta. Las funciones algebraicas en A son cerradas bajo composición, i.e., forman un clon, el cual denotamos por Clo_{alg}(A). Es claro que Clo_{alg}(A)⊇Clo(A) el clon generado por las operaciones fundamentales de A junto con las proyecciones.    Dada una variedad V, el problema de caracterizar los clones de funciones algebraicas para miembros de V está estrechamente vinculado a la axiomatizabilidad por sentencias de tipo ∀∃!(∧p=q) relativa a V. En nuestra comunicación explicaremos dicha conexión y la emplearemos para caracterizar las funciones algebraicas de todos los miembros de algunas variedades conocidas. Por ejemplo, para la variedad de los reticulados distributivos acotados tenemos el siguiente    Teorema Sea L un reticulado distributivo acotado. Entonces se da una de las siguientes:    (a) si L es complementedo entonces Clo_{alg}(L) es el clon formado por los términos booleanos de L.    (b) si L no es complementedo entonces Clo_{alg}(L)=Clo(L), i.e., todo función algebraica en L es un término.