: Representaciones Fieles de Dimensión Mínima de Algebras de Lie de Heisenberg Truncadas

LEANDRO CAGLIERO Y NADINA ROJAS

Facultad de Matemática, Astronomía y Física de la U.N.C.

Congreso; LVII Reunión Anual de Comunicaciones Científicas de U.M.A.; 2007

El Teorema de Ado afirma que toda ´algebra de Lie$mathfrak{g}$ de dimensi´on finita sobre un cuerpo de caracter´{i}stica cero$mathrm{k}$ admite una representaci´on fiel, dando origen al problema de calcular$$mu (mathfrak{g}) = min {dim V : (pi , V) ext{ es una representaci´on fiel de } mathfrak{g} }.$$El invariante$mu(mathfrak{g})$  tiene relaci´on con problemas de geometr´i{}a diferencial y, por lo general, es dif´{i}cil de obtener para un ´algebra de Lie$mathfrak{g}$ dada. Salvo para la familia de ´algebras de Lie semisimples, son contadas las ´algebras de Lie$mathfrak{g}$ para las cuales se conoce$mu(mathfrak{g})$. En la clase ´algebras de Lie nilpotentes se sabe, por ejemplo, que si$mathfrak{g}$ es filiforme, entonces$mu(mathfrak{g}) geq dim mathfrak{g}$; que si$mathfrak{g}$ es$mathbb{Z}$-graduada, entonces$mu(mathfrak{g}) leq dim mathfrak{g} + 1$ y que existen ´algebras de Lie nilpotentes$mathfrak{g}$ tales que$mu(mathfrak{g}) > dim mathfrak{g} + 1$.Sea$mathfrak{h}_m$ el {´a}lgebra de Lie de Heisenberg de dimensi{´o}n$2m+1$ y sea$mathrm{k}[t]$ el ´algebra de polinomios en una variable. Para cada$min mathbb{N}$ y$pin mathrm{k}[t]$ no nulo, el {´a}lgebra de Lie de Heisenberg truncada asociada es, por definici´on,$mathfrak{h}_{m, p}= mathfrak{h}_m otimes_mathrm{k} mathrm{k}[t]/(p)$.Esta es un ´algebra de Lie  sobre$mathrm{k}$, es 2-pasos nilpotente y tiene dimensi´on$(2m+1)deg (p)$.En este trabajo probamos los siguiente teoremaoindent{f Teorema.}extsl{Sea$mathrm{k}$ un cuerpo de caracter´{i}stica cero y sea$p in mathrm{k}[t]$ un polinomio no nulo. Entonces$$mu(mathfrak{h}_{m, p}) = m deg (p) + leftlceil 2 sqrt{deg (p)} ight ceil.$$En particular$mu(oplus_{i = 1}^r mathfrak{h}_m) = mr + leftlceil 2 sqrt{r} ight ceil.$}Cuando$r = 1$ este teorema extiende el resultado$mu(mathfrak{h}_m) = m + 2$, el cual es bien conocido.