Funciones Hipergeom¨¦tricas Matriciales Generalizadas

SIMONDI SEBASTI¨¢N. ROMAN PABLO

Mendoza

Congreso; VIII Encuentro de Profesores de Matem¨¢tica y Estad¨ªstica de Universidad Nacional de Cuyo y la Universidad Tecnol¨®gica Nacional. Mendoza; 2007

Universidad Nacional de Cuyo. Universidad Tecnol¨®gica Nacional. Facultad Regional Mendoza

FUNCIONES HIPERGEOMETRICAS MATRICIALES GENERALIZADAS   MATRIX VALUED GENERALIZED HYPERGEOMETRIC FUNCTIONS   Autores: Pablo Rom¨¢n. Sebasti¨¢n Simondi   Instituto de Ciencias B¨¢sicas. Universidad Nacional de Cuyo. C.I.E.M. - Fa.M.A.F. Universidad Nacional de C¨®rdoba. roman@mate.uncor.edu,  ssimondi@uncu.edu.ar   Palabras Claves: Funciones hipergeom¨¦trica, funciones matriciales esf¨¦ricas, polinomios ortogonales matriciales, conjunto fundamentales de soluciones.   La importancia de la ecuaci¨®n diferencial hipergeom¨¦trica introducida por Euler en 1769 y de la funci¨®n hipergeom¨¦trica fue percibida por matem¨¢ticos famosos como Gauss, Kummer y Riemman. Desde entonces muchos otros estudiaron diversas generalizaciones y aplicaciones. En efecto muchas de las funciones especiales que aparecen en la matem¨¢tica, la f¨ªsica, la ingenier¨ªa y la estad¨ªstica, como por ejemplo los polinomios de Hermite, Laguerre, Gegenbauer y Jacobi son casos especiales de las funciones hipergeom¨¦tricas. Toda ecuaci¨®n diferencial ordinaria de segundo orden con tres puntos singulares regulares puede transformarse en una ecuaci¨®n diferencial hipergeom¨¦trica de la forma z(1 − z)f¡¯¡¯(z) + (c − z(a + b + 1))f¡¯(z) − abf(z) = 0,   donde a, b y c son n¨²meros complejos. Si c no es un entero positivo se verifica que la ¨²nica soluci¨®n anal¨ªtica de la ecuaci¨®n hipergeom¨¦trica que en z = 0 vale 1 esta dada por la Funci¨®n Hipergeom¨¦trica definida por   2F1 (a , b; c ; z) =¡Æ((a)n (b)n )/(c)n  zn/n! , donde (w)n = w(w + 1) . . . (w + n − 1).   Recientemente, el J. Tirao (2003) introdujo una ecuaci¨®n an¨¢loga a valores matriciales de la ecuaci¨®n hipergeom¨¦trica dada por   (1)       z(1 − z)F¡¯¡¯(z) + (C − z((1) A + B + 1))F¡¯(z) − ABF(z) = 0,   donde A,B,C son matrices complejas en Cr¡Ár y F denota una funci¨®n compleja con valores en Cr; la correspondiente funci¨®n hipergeom¨¦trica de Gauss matricial de  tres par¨¢metros. Determin¨® un conjunto fundamental de soluciones de (1) alrededor de z = 0 expresadas en funci¨®n de las funciones hipergeom¨¦trica de Gauss matricial de  tres par¨¢metros.   En dos trabajos, generalizamos la ecuaci¨®n hipergeom¨¦trica matricial extendiendo naturalmente el n¨²mero de par¨¢metros, de esta manera consideramos y resolvimos una ecuaci¨®n hipergeom¨¦trica generalizada. En particular determinamos conjuntos fundamentales de soluciones de (1) alrededor de todos sus puntos singulares regulares expresadas en t¨¦rminos de estas funciones hipergeom¨¦tricas generalizadas. Adem¨¢s hallamos condiciones suficientes para la convergencia de dichas funciones hipergeom¨¦tricas matriciales generalizadas en |z| = 1.