Pseudobialgebras

C. BOYALLIAN Y J. LIBERATI

Cordoba

Congreso; Reunion anual de la Union Matematica Argentina; 2007

UMA

La parte singular del OPE (operator product expansion)  en la teor\'\i a de campos conformes,   codifica las relaciones de conmutaci\'on de campos, que conduce a la definici\'on de  \'algebras de Lie conformes. Estas son, simplemente,  un $\mathbb{C}[\partial ]$-m\'odulo, munido de una cantidad infinita de productos bilineales (sobre los n\'umeros complejos), parametrizados por los  enteros positivos,  que satisface un sistema de identidades, ( ver [K]). En  [BD],  Beilinson y Drinfeld muestran que las \'algebras de Lie conformes  pueden ser vistas como  \'algebras de Lie en ciertas categor\'\i as pseudotensoriales y que son un ejemplo unidimesional de lo que ellos llaman $C^*$-\'algebras. Inspirados en  esto, Bakalov, D'Andrea y Kac, [BDK], desarrollan la teor\'\i a de \'algebras de Lie conformes multidimensionales, llamadas pseudoalgebras,  donde la estructura de  $\mathbb{C}[\partial ]$-m\'odulo es reemplazada por una estructura de $H$-m\'odulo, con $H$ un \'algebra de Hopf  coconmutativa. En este trabajo,  dualizamos la noci\'on de pseudo\'algebra, lo cual permite clarificar la teor\'\i a de estos objetos.  Defimos las pseudobialgebra  de Lie y  obtenemos pseudo-an\'alogos  de los triples de Manin, el doble de Drinfeld y la ecuaci\'on cl\'asica de Yang-Baxter. Adem\'as,  se tiene una descripci\'on natural del \'algebra de Lie asociada a una pseudoalgebra, que es central en el estudio de la teor\'\i a de representaciones, como un \'algebra de funciones con un producto de convoluci\'on. La versi\'on conforme de estos resultados fueron obtenidos en [L]. \vskip 2cm [BD] A. Beilinson and V. Drinfeld, \textit{Chiral algebras}, AMS, (2004) \ [BDK]  B. Bakalov, A. D'Andrea and V. Kac, \textit{Theory of finite pseudoalgebras}, Adv. Math. \textbf{162}, (2001) 1-140. \ [K] V. Kac; \textit{Vertex algebras for beginners} (Second edition), American Mathematical Society (1998). \ [L] J. Liberati, \textit{On conformal bialgebras}, preprint (2006).