Algebras simetricas a izquierda asociadas a conexiones afines de tipo complejo

ADRIAN ANDRADA, MARIA LAURA BARBERIS, GABRIELA OVANDO

Córdoba

Congreso; LVII Reunión Anual de la Union Matematica Argentina; 2007

Sea g un ´algebra de Lie sobre un cuerpo K de caracter´ıstica cero. Una estructura de ´algebra sim´etrica a izquierda (LSA por sus siglas en ingl´es) en g es un homomorfismo  : g ! gl(g) de ´algebras de Lie que satisface la siguiente condici´on:(x)y − (y)x = [x, y].Las ´algebras sim´etricas a izquierda surgen en diversos contextos en matem´atica y f´ısica. Por ejemplo, las LSA se relacionan con sistemas integrables en hidrodin´amica [K], y para K = R, una estructura LSA en el ´algebra de Lie g induce una estructura af´in invariante a izquierda en el grupo de Lie simplemente conexo G asociado a g.Hay muchas familias de ´algebras de Lie que no poseen estructura LSA, por ejemplo las semisimples [MO].Una gran cantidad de ´algebras de Lie solubles admite una estructura LSA, aunque recientemente se han encontrado ejemplos de ´algebras nilpotentes que no admiten tales estructuras [Be, Bu]. En este trabajo mostramos una manera de construir estructuras LSA en una cierta clase de ´algebras de Lie complejas. Para ello, consideramos la siguiente situaci´on: si J es una estructura compleja en g, entonces se puede definir un nuevo corchete [·, ·]J en el espacio vectorial g mediante:[x, y]J = [Jx, y] + [x, Jy],que satisface la identidad de Jacobi debido a la integrabilidad de J. M´as a´un, gJ := (g, [·, ·]J ) es un ´algebra de Lie compleja [ABO]. Si el ´algebra de Lie g admite una estructura compleja J y una conexi´on af´in r que satisfacen ciertas condiciones de compatibilidad, entonces el ´algebra de Lie gJ admite una estructura LSA. Como consecuenciade este resultado obtenemos familias de ´algebras de Lie con estructuras LSA.