Esapcios de D´Atri de tipo de Iwasawa

DRUETTA, MARÍA J.

Universidad Nacional de Córdoba, Córdoba

Congreso; LVII Reunión de Comunicaciones Científicas de UMA; 2007

Unión Matemática Argentina

Una  variedad riemanniana completa M se dice que es un espacio de D´Atri si localmente las simetrías geodésicas preservan el elemento de volumen, salvo signo. Equivalentemente, detA(v,t)=detA(-v,t) para todo vector unitario v en TM y cada t>0. Aquí, A(v,t) denota el tensor de Lagrange a lo largo de la geodésica determinada por v, con la condición inicial A(v,0)=0 y A´(v,0)=Id. Consideramos el caso M un epacio homogéneo de tipo de Iwasawa y rango algebraico uno. Probamos que un espacio D´Atri de tipo de Iwasawa y rango uno es armónico.  Este resultado fue probado anteriormente por Heber para el caso más restrictivo de los espacios de Hadamard (s.c. y curvatura no positiva) homogéneos, incluidos en la familia de homogéneos Iwasawa y usando técnicas propias de solv-variedades de Hadamard . La propiedad de un espacio ser D´Atri implica que la función de v, A(v,t) para t>0 es invariante por el flujo geodésico. Este hecho y la presencia del elemento distinguido H dederminado por el rango uno,  nos permiten demostrar que detA(v,t)=detA(H,t) para todo vector unitario v y t>0. Aplicando un resultado de Heber (GAFA, 2006), quedan así caracterizados los espacios D´Atri de tipo de Iwasawa y rango algebraico uno: son los espacios Damek- Ricci.