Estimación de parámetros para un modelo de invasión de cáncer en 2 dimensiones

ANDRÉS QUIROGA; GERMÁN TORRES; DAMIÁN FERNÁNDEZ; CRISTINA TURNER

San Luis

Congreso; UMA-2014; 2014

En este trabajo se presenta un m\'etodo para estimar los par\'ametros desconocidos que caracterizan un modelo de invasi\'on de cancer \cite{gatenby1996reaction} en dos dimensiones espaciales \cite{quiroga2014adaptive}, el cual describe la distribuci\'on espacial y la evoluci\'on temporal de la densidad del tejido normal ($u_1$), el crecimiento de tejido neopl\'asico ($u_2$) y el exceso de concentraci\'on de iones H$^+$ ($u_3$). El modelo est\'a dado por el siguiente sistema acoplado de reacci\'on difusi\'on: \begin{eqnarray}\frac{ \partial u_1 }{ \partial t } &=& u_1 \left( 1 - u_1 \right) - \delta_1 u_3 u_1,\nonumber\\ \frac{ \partial u_2 }{ \partial t } & =& u_2 \left( 1 - u_2 \right)+ \nabla \cdot \left( D_2 \left( 1 - u_1 \right) \nabla u_2 \right), \nonumber \\ \frac{ \partial u_3 }{ \partial t } &=& \delta_3(u_2 - u_3) + \Delta u_3. \nonumber \end{eqnarray} En este modelo la influencia destructiva de los iones H$^+$ en el tejido sano ($\delta_1$) es desconocido y no puede ser estimado experimentalmente. Nuestro m\'etodo consiste en aproximar dicho par\'ametro por medio de un problema de minimizaci\'on (problema inverso). Para ello se define un funcional que compara los datos reales con la soluci\'on num\'erica que se obtiene resolviendo el problema directo. Este funcional se minimiza utilizando un algoritmo de minimizaci\'on tipo gradiente, para ello se utiliza el m\'etodo adjunto \cite{nocedal2006numerical}. Utilizamos el M\'etodo de Elementos Finitos Adaptivo para la resoluci\'on los problemas directo y adjunto. Tambi\'en se usan t\'ecnicas de paralelizaci\'on computacional.