On the variety of planar normal sections

ALICIA N. GARCÍA; WALTER N. DAL LAGO; CRISTIÁN U. SÁNCHEZ

Bahía Blanca

Congreso; LVI Reunión Anual de la Unión Matemática Argentina; 2006

Sea M una variedad Riemanniana n-dimensional compacta y conexa y I : M ! Rn+k un ”embedding” isom´etico en Rn+k. Diremos que la subvariedad M es esf´erica si est´a contenida en una esfera de radio r en subvariedad M es esf´erica si est´a contenida en una esfera de radio r en y I : M ! Rn+k un ”embedding” isom´etico en Rn+k. Diremos que la subvariedad M es esf´erica si est´a contenida en una esfera de radio r en subvariedad M es esf´erica si est´a contenida en una esfera de radio r en M una variedad Riemanniana n-dimensional compacta y conexa y I : M ! Rn+k un ”embedding” isom´etico en Rn+k. Diremos que la subvariedad M es esf´erica si est´a contenida en una esfera de radio r en subvariedad M es esf´erica si est´a contenida en una esfera de radio r en I : M ! Rn+k un ”embedding” isom´etico en Rn+k. Diremos que la subvariedad M es esf´erica si est´a contenida en una esfera de radio r enM es esf´erica si est´a contenida en una esfera de radio r en Rn+k. Dado un punto p 2 M denotamos como en trabajos anteriores ([1] , [2]) bXp [M] = Y 2 Tp (M) : kY k = 1, ��rX
(X,X) = 0 . Sea ([1] , [2]) bXp [M] = Y 2 Tp (M) : kY k = 1, ��rX
(X,X) = 0 . Sea n+k. Dado un punto p 2 M denotamos como en trabajos anteriores ([1] , [2]) bXp [M] = Y 2 Tp (M) : kY k = 1, ��rX
(X,X) = 0 . Sea, [2]) bXp [M] = Y 2 Tp (M) : kY k = 1, ��rX
(X,X) = 0 . Sea {!1, . . . , !k} un marco local ortonormal adecuado del fibrado normal definido en un abierto U  M. Consideramos, para X 2 TE (M), E 2 U, los siguientes polinomios los siguientes polinomios definido en un abierto U  M. Consideramos, para X 2 TE (M), E 2 U, los siguientes polinomios los siguientes polinomios !1, . . . , !k} un marco local ortonormal adecuado del fibrado normal definido en un abierto U  M. Consideramos, para X 2 TE (M), E 2 U, los siguientes polinomios los siguientes polinomios U  M. Consideramos, para X 2 TE (M), E 2 U, los siguientes polinomios Pj (X) = !j (E) , ��rX
(X,X), j = 1, . . . k.j (X) = !j (E) , ��rX
(X,X), j = 1, . . . k. Ellos definen la variedad bXE [M] en E por la condici´on Pj (X) = 0, parabXE [M] en E por la condici´on Pj (X) = 0, para j = 1, . . . k, kXk = 1. Estudiamos los gradientes de estos polinomios y en particular su independencia lineal. Estudiamos ademas su armonicidad. [1] Dal Lago, W. , Garc´ýa, A. and S´anchez, C.: Planar normal sections on the natural imbedding of a flag manifold, Geom. Dedicata 53 (1994), 223-235. [2] S´anchez, C., Garc´ýa, A. and Dal Lago, W.: Planar normal sections on the natural imbedding of a real flag manifold, Beitr¨age zur Algebra und Geometrie 41 (2000), 513-530. 1 1 und Geometrie 41 (2000), 513-530. 1 1 on the natural imbedding of a real flag manifold, Beitr¨age zur Algebra und Geometrie 41 (2000), 513-530. 1 1 und Geometrie 41 (2000), 513-530. 1 1 223-235. [2] S´anchez, C., Garc´ýa, A. and Dal Lago, W.: Planar normal sections on the natural imbedding of a real flag manifold, Beitr¨age zur Algebra und Geometrie 41 (2000), 513-530. 1 1 und Geometrie 41 (2000), 513-530. 1 1 on the natural imbedding of a real flag manifold, Beitr¨age zur Algebra und Geometrie 41 (2000), 513-530. 1 1 und Geometrie 41 (2000), 513-530. 1 1 en particular su independencia lineal. Estudiamos ademas su armonicidad. [1] Dal Lago, W. , Garc´ýa, A. and S´anchez, C.: Planar normal sections on the natural imbedding of a flag manifold, Geom. Dedicata 53 (1994), 223-235. [2] S´anchez, C., Garc´ýa, A. and Dal Lago, W.: Planar normal sections on the natural imbedding of a real flag manifold, Beitr¨age zur Algebra und Geometrie 41 (2000), 513-530. 1 1 und Geometrie 41 (2000), 513-530. 1 1 on the natural imbedding of a real flag manifold, Beitr¨age zur Algebra und Geometrie 41 (2000), 513-530. 1 1 und Geometrie 41 (2000), 513-530. 1 1 223-235. [2] S´anchez, C., Garc´ýa, A. and Dal Lago, W.: Planar normal sections on the natural imbedding of a real flag manifold, Beitr¨age zur Algebra und Geometrie 41 (2000), 513-530. 1 1 und Geometrie 41 (2000), 513-530. 1 1 on the natural imbedding of a real flag manifold, Beitr¨age zur Algebra und Geometrie 41 (2000), 513-530. 1 1 und Geometrie 41 (2000), 513-530. 1 1 = 1, . . . k, kXk = 1. Estudiamos los gradientes de estos polinomios y en particular su independencia lineal. Estudiamos ademas su armonicidad. [1] Dal Lago, W. , Garc´ýa, A. and S´anchez, C.: Planar normal sections on the natural imbedding of a flag manifold, Geom. Dedicata 53 (1994), 223-235. [2] S´anchez, C., Garc´ýa, A. and Dal Lago, W.: Planar normal sections on the natural imbedding of a real flag manifold, Beitr¨age zur Algebra und Geometrie 41 (2000), 513-530. 1 1 und Geometrie 41 (2000), 513-530. 1 1 on the natural imbedding of a real flag manifold, Beitr¨age zur Algebra und Geometrie 41 (2000), 513-530. 1 1 und Geometrie 41 (2000), 513-530. 1 1 223-235. [2] S´anchez, C., Garc´ýa, A. and Dal Lago, W.: Planar normal sections on the natural imbedding of a real flag manifold, Beitr¨age zur Algebra und Geometrie 41 (2000), 513-530. 1 1 und Geometrie 41 (2000), 513-530. 1 1 on the natural imbedding of a real flag manifold, Beitr¨age zur Algebra und Geometrie 41 (2000), 513-530. 1 1 und Geometrie 41 (2000), 513-530. 1 1 Geom. Dedicata 53 (1994), 223-235. [2] S´anchez, C., Garc´ýa, A. and Dal Lago, W.: Planar normal sections on the natural imbedding of a real flag manifold, Beitr¨age zur Algebra und Geometrie 41 (2000), 513-530. 1 1 und Geometrie 41 (2000), 513-530. 1 1 on the natural imbedding of a real flag manifold, Beitr¨age zur Algebra und Geometrie 41 (2000), 513-530. 1 1 und Geometrie 41 (2000), 513-530. 1 1 Planar normal sections on the natural imbedding of a real flag manifold, Beitr¨age zur Algebra und Geometrie 41 (2000), 513-530. 1 1 und Geometrie 41 (2000), 513-530. 1 1 , Beitr¨age zur Algebra und Geometrie 41 (2000), 513-530. 1 1 41 (2000), 513-530. 1