Polinomios ortogonales matriciales y representaciones de grupos.

PABLO ROMÁN

Río Cuarto

Seminario; Seminario de matemática; 2013

Universidad de Río Cuarto

La teoría de funciones especiales es un tema clásico de la matemática y de la física matemática que se remonta a los trabajos de Euler, Gauss, Riemann, Kummer, Bessel, etc. En esta charla exploraremos una clase importante de funciones especiales relacionadas con las representaciones de grupos: las funciones esféricas. Las funciones esféricas sobre un grupo de Lie G son funciones que son invariantes a izquierda y derecha con respecto a un subgrupo compacto K. Para ejemplos específicos, las funciones esféricas se pueden describir explícitamente en términos de funciones especiales y polinomios ortogonales conocidos. Discutiremos el caso en que G es el grupo ortogonal especial SO(n+1) y K=SO(n) y mostraremos que, en este caso, las funciones esféricas se reducen a los polinomios de Gegenbauer y muchas de las propiedades de estos polinomios, como la relación de ortogonalidad o la relación de recurrencia de tres términos, pueden ser interpretadas a nivel del grupo. Finalmente discutiremos una generalización mas reciente de las funciones esféricas, permitiendo que tomen valores matriciales. En los últimos años, esta extensión ha permitido conectar la teoría de grupos con la teoría de polinomios ortogonales matriciales dando lugar a la aparición de nuevas familias de funciones especiales.