Funciones Esféricas en las esferas n-dimensionales, los tipos fundamentales.

JUAN A. TIRAO, IGNACIO N. ZURRIÁN

Rosarioa

Congreso; Reunión anual de la Unión Matemática Argentina; 2013

Sea G un grupo localmente compacto unimodular y K un subgrupo compac-to; llamemos K el conjunto de todas las clases de equivalencia de representacio-nes irreducibles de dimensi ́n o finita de K. Para cada δ ∈ K ? sea ξδ el car ́cter a deδ, d(δ) la dimensi ́n o de δ y χδ = d(δ)ξδ. Una funci ́n o esf ́rica e de tipo δ es unafunci ́n o continua Φ : G −→ End(V ) tal que Φ(e) = I y que satisface la siguienteecuaci ́n o integral.?−1Φ(x)Φ(y) = χδ(k )Φ(xky) dk, para todo x, y ∈ G.KSi G es un grupo de Lie conexo no es dif ́ ıcil probar que las funciones esf ́ ericasson anal ́ ıticas. Y si D(G)K es el a  ́lgebra de los operadores diferenciales en Gque son invariantes por multiplicaci ́n o a izquierda por G y a derecha por K,tenemos que una funci ́n o esf ́rica e de tipo δ est ́ a caracterizada por las siguientespropiedades:i) Φ : G −→ End(V ) es una funci ́n o anal ́ ıtica.ii) Φ(k1gk2) = π(k1 )Φ(g)π(k2), para todo k1 , k2 ∈ K, g ∈ G, y Φ(e) = I.iii) [∆Φ](g) = Φ(g)[∆Φ](e), para todo g ∈ G y ∆ ∈ D(G)K .Donde (π, V ) es una representaci ́n o finita de K tal que π = mδ con δ ∈ K. ?En esta comunicaci ́n o se exhibir ́n a las funciones esf ́ricas e de tipo fundamen-ntal de la esfera n-dimensional S SO(n+1)/SO(n), para cualquier n. Adem ́s, aexplicitaremos todas las funciones esf ́ricas e de tipo SO(n − 1)-irreducible, estoincluye a las de tipo trivial. En ambos casos las describiremos en t ́ erminos defunciones hipergeom ́ etricas matriciales 2 H1 . Para esto trabajamos con las rea-lizaciones expl ́ ıcitas de las representaciones del grupo especial ortogonal real.Posteriormente construimos para cada tipo fundamental una sucesi ́n o de poli-nomios ortogonales con respecto a un peso W , las cuales est ́n a asociadas a lasfunciones esf ́ricas e y probamos que, para cualquier n, W admite un operadordiferencial sim ́trico e de segundo orden.