Un problema de minimización en un modelo de invasión de cáncer

ANDRÉS QUIROGA; CRISTINA TURNER; GERMÁN TORRES; DAMIÁN FERNÁNDEZ

Rosario

Encuentro; UMA 2013; 2013

En este trabajo cite{quirogaetal} se presenta un m´etodo para estimar los par´ametros desconocidos que caracterizan un modelo de invasi´on de cancer cite{gatenby1996reaction}, el cual describe la distribuci´on espacial y la evoluci´on temporal de la densidad del tejido normal ($N_1$), el crecimiento de tejido neopl´asico ($N_2$) y el exceso de concentraci´on de iones H$^+$ ($L$). El modelo est´a dado por el siguiente sistema acoplado de reacci´on difusi´on: egin{eqnarray*} rac{ partial N_1 }{ partial t } &=& r_1 N_1 left( 1 - rac{N_1 }{K_1} ight) - d_1 L N_1,\ rac{ partial N_2 }{ partial t } &=& r_2N_2 left( 1 - rac{N_2 }{K_2} ight)+ abla cdot left( D_{N_2} left( 1 - rac{N_1}{K_1} ight) abla N_2 ight), \ rac{ partial L}{ partial t } &=& r_3N_2 - d_3 L + D_{N_3} Delta L. end{eqnarray*} Cada uno de los par´ametros del modelo tiene una interpretaci´on biol´ogica, por ejemplo, la tasa de crecimiento de tejido neopl´asico ($r_2$), el coeficiente de difusión ($D_{N_2}$), la tasa de reabsorci´on ($d_3$) y la influencia destructiva de los iones H$^+$ en el tejido sano ($d_1$). Sin embargo no todos ellos se pueden estimar mediante mediciones directas cite{martin1994noninvasive}, en este caso no se conoce el valor de $d_1$. Nuestro m´etodo consiste en aproximar dicho par´ametro por medio de un problema de minimizaci´on (problema inverso). Para ello se define un funcional que compara los datos reales con la soluci´on num´erica que se obtiene resolviendo el problema directo. Este funcional se minimiza utilizando un algoritmo de minimizaci´on tipo gradiente, para ello se utiliza el m´etodo adjunto cite{nocedal2006numerical}. Utilizamos el M´etodo de Elementos Finitos para la resoluci´on los problemas directo y adjunto.