Clases de conjugación unipotentes de tipo D en grupos finitos de tipo Lie

GASTÓN ANDRÉS GARCÍA

Córdoba

Congreso; IV Congreso Latinoamericano de Matemáticos; 2012

Universidad Nacional de Córdoba

Esta charla estará basada en un trabajo en conjunto con N. Andruskiewitsch (U. N. Córdoba, Argentina) y G. Carnovale (U. Padua, Italia) donde se estudian ciertas propiedades de las clases de conjugación unipotentes de los grupos simples finitos de tipo Lie. Una clase de conjugación es un ejemplo de un pecio. El mismo se define como un par (X,.) donde X es un conjunto y . es una aplicación de X x X en X que es auto-distributiva y tal que x.- es biyectiva para todo x en X. En el caso de una clase de conjugación O, se define x.y = xyx^{-1}. Además, decimos que un pecio X es de tipo D si X= R U S es descomponible y existen r en R, s en S tales que r .(s.(r. s)) no es igual a s. Esta noción es importante pues toda álgebra de Nichols asociada a un pecio de tipo D y cualquier cociclo es de dimensión infinita por [AFGV1, Thm. 3.6]. Este resultado motiva el siguiente problema: clasificar los pecios simples de tipo D. Entre los pecios simples, una clase importante la constituyen las clases de conjugación de los grupos finitos simples, ver por ejemplo [AFGV1, AFGV2]. En este trabajo se inicia la consideración de las clases de conjugación de grupos finitos de tipo Lie. Esta dirección se enmarca en la estrategia propuesta en [AFGaV], donde como primer paso se reduce el estudio a las clases de conjugación unipotentes o semisimples. Durante la charla expondremos algunas herramientas que nos ayudan a determinar cuándo una clase de conjugación de un elemento unipotente en un grupo de Chevalley reductivo finito G^{F} es de tipo D, entre ellas la descripción de los elementos unipotentes regulares de Steinberg, la formula del conmutador de Chevalley y la parametrización de las clases de conjugación de SL_{2}(q) cuando G=SL_{2}(k) y k un cuerpo algebraicamente cerrado de característica p mayor a 0. En particular, mostraremos que dichas clases son de tipo D si G posee dos raíces simples tales que su suma es una raíz. Referencias: - [AFGaV] N. Andruskiewitsch, F. Fantino, G. A. García y L. Vendramin, On Nichols algebras associated to simple racks, Groups, Algebras and Applications, Contemp. Math. 537, Amer. Math. Soc., Providence, RI, (2011) 31--56. - [AFGV1] N. Andruskiewitsch, F. Fantino, M. Graña y L. Vendramin, Finite-dimensional pointed Hopf algebras with alternating groups are trivial, Ann. Mat. Pura Appl. (4), 190 2 (2011) 225--245. - [AFGV2] N. Andruskiewitsch, F. Fantino, M. Graña and L. Vendramin, Pointed Hopf algebras over the sporadic groups, J. Algebra 325 1 (2011) 305--320.