Representaciones fieles de dimensión mínima de álgebras de Lie de Heisenberg truncadas

L. CAGLIERO Y N. ROJAS

B. Blanca, Argebtina

Congreso; LVI Reunión de comunicaciones científicas; 2006

UMA,

El Teorema de Ado afirma que toda álgebra de Lie $\g$ de dimensiónfinita sobre $\C$ admite una representación fiel $(\pi,V)$ dedimensión finita. Sin embar\-go el invariante $\mu(\g)=\min\{\dimV:(\pi,V)\text{ es una representación fiel de }\g\}$ es en generalmuy difícil de calcular para un álgebra de Lie arbitraria $\g$. Sesabe por ejemplo que si $\g$ es nilpotente graduada de dimensión$n$ entonces $\mu(\g)\le n+1$.Sea $\h_m$ el álgebra de Lie de Heisenberg de dimensión $2m+1$ y sea$\h_{m,k}=\h_m\otimes\C[t]/(t^{k+1})$ el álgebra de Lie de Heisenberg truncada.Por diversos motivos, esta álgebra de Lie, que tiene dimensión $n=(2m+1)(k+1)$, es muy estudiada.En este trabajo construimos representaciones fieles de $\h_{m,k}$de dimensión $(k+1)(m+1)+1$ y demostramos que $\mu(\h_{m,k})\ge (k+1)m+2$.Es decir que\[\frac12\,n-\frac{k+1}2+2\le\mu(\h_{m,k})\le \frac12\,n+\frac{k+1}2+1.\]Este resultado para $k=0$ implica que $\mu(\h_{m})=m+2$, lo cual es bien conocido.Además probamos que $\mu(\h_{m,k})=(k+1)(m+1)+1$ para $k=1,2$.