Representaciones del grupo simétrico

L CAGLIERO

Vaquerías, Córdoba

Congreso; III Encuentro Nacional de Álgebra, Vaquerías, Agosto; 2006

Las notas esán divididas en tres partes.En la primera introducimos el grupo simétrico $\S_n$ y enunciamos algunos resultados de teoría de representaciones de grupos finitos. En la sección que describimos la representación canónica de $\S_n$  destacamos algunas diferencias que aparecen si la característica del cuerpo divide a $n$.En la segunda parte demostramos el Teorema del submódulo de Jamesen característica arbitraria. Esta demostración no requiere de ningún resultado de teoría de representaciones. Luego, como consecuencia de este teorema, obtenemos la clasificación de las representaciones irreducibles de $\S_n$ sobrecualquier cuerpo de característica cero. Esta clasificación requiere solamente el resultado que establece cuántas representaciones irreducibles no equivalentestiene un grupo finito. La tercera parte está dedicada al isomorfismo entre el anillo de Littlewood-Richardson, y el anillo de funciones simétricas con coeficientesenteros. Comenzamos enunciando las propiedades básicas de los caracteres de grupos finitos sin demostraciones. De manera análoga se define el anillo de funciones simétricas, pariente muy cercano del anillo de polinomios simétricas, y listamos algunas de las identidades básicas que relacionan entre sí las distintas familias de polinomios simétricos.  Aceptando las propiedades de los caracteres y las identidades entre polinomios simétricos demostramos el isomorfismomencionado. De este teorema se desprenden muchas fórmulas famosasde los caracteres de $\S_n$ que son obtenidas en la última sección.