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En esta charla se considerará el problema general de determinar la estructura de una categoría de fusión C a partir del conjunto c.d.(C) de dimensiones de Frobenius-Perron de los objetos simples de C. Especíﬁcamente, se considerará esta cuestión en el caso en que c.d.(C) = {1, p}, con p un número primo. Se mostrarán varios resultados de estructura relacionados con las nociones de nilpotencia y resolubilidad de categorías de fusión, introducidas por Etingof, Gelaki, Nikshych y Ostrik [2], [1]. Los resultados principales se resumen en el siguiente teorema. Teorema 1: Sea C una categoría de fusión sobre k, con k un cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero. Entonces se tiene: (i) Supongamos que C es débilmente de tipo grupo y tiene dimensión impar. Entonces C es resoluble. Sea p un número primo. (ii) Supongamos que c. d.(C) ⊆ {1, p}. Entonces C es resoluble en cualquiera de los siguientes casos: - C es trenzada y de dimensión impar. - C = C(G, ω, Z_p, α) (una categoría de fusión de tipo grupo) y |G(C)| = p. - C es una categoría casi-grupo. - C = Rep H, con H un álgebra de Hopf cuasitriangular semisimple y p = 2. (iii) Sea H un álgebra de Hopf semisimple tal que c. d.(H) ⊆ {1, p}. Entonces H^∗ es nilpotente en cualquiera de los siguientes casos: - |G(H^∗)| = p y p divide a |G(H)|. - |G(H^∗)| = p y H es cuasitriangular. - H es de tipo (1, p; p, 1) como álgebra. (iv) Sea H un álgebra de Hopf semisimple tal que c. d.(H) ⊆ {1, 2}. Entonces: - H es débilmente de tipo grupo, y más aún, es de tipo grupo si H = H_{ad}. - El grupo G(H) es resoluble. (v) Sea H un álgebra de Hopf semisimple de tipo (1, p; p, 1) como álgebra. Entonces H es una deformación por twisting del álgebra de grupo kN, con N un grupo resoluble. Referencias [1] S. Gelaki and D. Nikshych, Nilpotent fusion categories, Adv. Math. 217, 1053-1071 (2008). [2] P. Etingof, D. Nikshych and V. Ostrik, Weakly group-theoretical and solvable fusion categories, Adv. Math. 226, 176205 (2011).