Una cota inferior para las representaciones fieles de dimensión finita de álgebras de Lie nilpotentes

LEANDRO CAGLIERO Y NADINA ROJAS

Congreso; LXI Reunión anual de la UMA; 2011

Sea $mathfrak{g}$ un ´algebra de Lie de dimensi´on finita sobre un cuerpo $mathrm{k}$ de caracter´istica cero y sea $$mu (mathfrak{g}) = min {dim V : (pi , V) ext{ es una representaci´on fiel de } mathfrak{g} }.$$ Por el Teorema de Ado, sabemos que el invariante $mu(mathfrak{g})$ es finito, este invariante tiene importantes aplicaciones a la geometría diferencial. En general dada un ´algebra de Lie concreta, o una familia de ´algebras de Lie, no es sencillo calcular el valor o una cota para $mu$, algunos trabajos relacionados son por ejemplo cite{BW}, cite{CR}, cite{D}. Sea $mathfrak{z}(mathfrak{g})$ el centro de $mathfrak{g}$. Para las ´algebras de Lie nilpotentes tal que $mathfrak{z}(mathfrak{g}) subseteq [mathfrak{g} , mathfrak{g}]$ una cota inferior f´acil de obtener para $mu(mathfrak{g})$ es $ leftlceil sqrt{2 dim mathfrak{g}} ight ceil. $ En esta comunicaci´on mostramos los siguientes teoremas: oindent{f Teorema 1.} emph{ Sean $mathfrak{g}$ un ´algebra de Lie 2-pasos nilpotente de dimensi´on finita sobre $k$ y $mathfrak{z}(mathfrak{g})$ el centro de $mathfrak{g}$. Sea $mathfrak{a}$ una sub´algebra de Lie abeliana de $mathfrak{g}$ de codimensi´on $d$ tal que $mathfrak{z}(mathfrak{g}) subseteq mathfrak{a}$ entonces $$ leftlceil sqrt{3 dim mathfrak{g}} ight ceil leq mu(mathfrak{g}) leq dim mathfrak{z}(mathfrak{g}) + d + 1 $$ } oindent{f Teorema 2.} emph{Sea $mathfrak{g}$ un ´algebra de Lie $k+1$-pasos nilpotente entonces $$mu(mathfrak{g}) geq leftlceil sqrt{ rac{2(k + 2)}{k+1} dim mathfrak{g}} ight ceil.$$} De este teorema desprenderemos el valor de $mu$ para ciertas ´algebras de Lie nilpotentes y una aplicaci´on para las ´algebras de dimensi´on finita sobre $mathrm{k}$ que satisfacen la siguiente identidad polinomial egin{equation}label{eq.1} [x_1,y_1] [x_2,y_2]dots [x_q,y_q]=0 end{equation} para alg´un entero positivo $q$ (aqui $[x,y]=xy-yx$).