Sobre conexiones métricas con torsión totalmente antisimétrica

SILVIO REGGIANI

Córdoba

Congreso; Encuentro de Geometría Diferencial; 2011

Facultad de Matemática, Astronomía y Física - Universidad Nacional de Córdoba

Sean M una variedad riamanniana y ~ una conexión métrica en M con las mismas geodésicas que la conexión de Levi-Civita. En tal caso decimos que ~ es una conexión (métrica) con torsión totalmente antisimétrica. En esta charla mencionaremos algunos resultados conocidos sobre variedades que admiten este tipo de conexiones (por ejemplo un resultado originalmente descubierto por Cartan-Schouten que dice que los únicos espacios que admiten conexiones planas de este tipo son los grupos de Lie y la esfera 7-dimensional), e introduciremos un resultado tipo Berger, el cual dice que si el subgrupo ortogonal generado por la torsión de ~ no es transitivo en la esfera, entonces el espacio es isométrico a un grupo de Lie con métrica bi-invariante (o su dual simétrico, en el caso no compacto). En particular, esto permite caracteriazar todas las conexiones planas de este tipo en grupos de Lie con métrica bi-invariante. En efecto, las únicas posibles son las conexiones (+) y (-), las cuales son conexiones canónicas. Para el caso no plano, la holonomía de ~ debe ser genérica y coincide con la holonomía riemanniana.