Un teorema tipo-Berger para conexiones métricas con torsión antisimétrica

SILVIO REGGIANI

San Miguel de Tucumán

Congreso; Reunión anual de la Unión Matemática Argentina; 2011

Universidad Nacional de Tucumán

Sean M una variedad riamanniana y ~ una conexión métrica en M con las mismas geodésicas que la conexión de Levi-Civita. En tal caso decimos que ~ es una conexión (métrica) con torsión antisimétrica. En este trabajo probamos un resultado tipo Berger, el cual dice que si el subgrupo ortogonal generado por la torsión de ~ no es transitivo en la esfera (del espacio tangente), entonces el espacio es isométrico a un grupo de Lie con métrica bi-invariante (o su dual simétrico, en el caso no compacto). Un teorema bien conocido de Cartan-Schouten dice que las únicas geometrías que admiten una conexión métrica plana con torsión antisimétrica son los grupos de Lie con métrica bi-invariante y la esfera 7-dimensional. A partir de nuestros resultados podemos caracterizar todas las conexiones métricas planas con torsión antisimétrica en grupos de Lie con métrica bi-invariante. En efecto, las únicas posibles son las conexiones (+) y (-), que hacen paralelos a los campos invariantes a izquierda y derecha, respectivamente, y son además conexiones canónicas. También probamos que en el caso no plano, la holonomía de ~ coincide con la holonomía riemanniana, si el grupo generado por la torsión es no transitivo en la esfera.