Recuperación de parámetros en un problema de frontera libre para el crecimiento de tumores

KNOPOFF DAMIAN; TORRES GERMAN; TURNER CRISTINA

San Miguel de Tucumán

Congreso; Reunión Anual de la Unión Matemática Argentina; 2011

En este trabajo mostraremos un modelo matem\'atico para elcrecimiento de tumores con quimioterapia. Dicho modelo est\'aplanteado como un problema de frontera libre, constituida por elborde del tumor, siendo el dominio el propio tumor. Se tiene unsistema de ecuaciones diferenciales parciales para el n\'umero decelulas tumorales ($n$), la concentraci\'on de nutrientes ($c$), lavelocidad del flujo de c\'elulas ($v$) y la concentraci\'on de droga($w$). Se asume un tumor esf\'erico, con simetr\'ia radial, con locual nuestras variables independientes son el radio $r$ y el tiempo$t$.Las ecuaciones involucradas en el modelo son las siguientes:$$\frac{\partial n}{\partial t}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2 v n)}{\partial r}=f_1(n,c,w)$$$$\frac{\partial c}{\partial t}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2 v c)}{\partial r}-\frac{D}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2\frac{\partial c}{\partial r})=f_2(n,c,w)$$$$\frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2 v)}{\partial r}= f_3 (c,n,w)$$$$ \frac{\partial w}{\partial t}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2 v w)}{\partial r}-\frac{D_w}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2\frac{\partial w}{\partial r})=f_4(n,c,w)  $$donde $S(t)$ es la frontera libre y las $f_i$ son funciones que sederivan de cuestiones de cin´etica qu´imica y biol´ogica. Las condiciones de borde e iniciales son prefijadas.Es importante recalcar que en este modelo hay incluidos par´ametros cuya obtenci´on constituye un problema por s´i mismo. En este trabajo mostraremos un m´etodo de estimaci´on de los mismos via resoluci´on de un problema inverso. Esto es, via la minimizaci´on de un funcional adecuado. En particular, dado un par´ametro (o vector de par´ametros) $alpha$ definimos:$$J(N,S;alpha)=int_0^1int_0^T [N_alpha (y,t)-N^*(y,t)]^2 dt dy +mu int_0^T [S_alpha(t)-S^*(t)]^2 dt,$$donde $N_alpha (y,t)$ y $N^*(y,t)$ son la densidad de c´ elulas vivaspara el problema directo resuelto con el valor $alpha$ y para losdatos reales, respectivamente (ambas en el dominio$[0,1] imes[0,T]$) (´idem para S).