Automorfismos de álgebras metabelianas

KAPLAN, AROLDO; TIRABOSCHI, ALEJANDRO

Tucumán

Congreso; Reunión Anual de la Unión Matemática Argentina 2011 - LXI Reunión de comunicaciones científicas; 2011

Unión Matemática Argentina

Un \'algebra de Lie real $\mathfrak{n}$ a 2-pasos nilpotente con centro $\mathfrak{z}$ se denomina {\it no-singular} si $\operatorname{ad} x: \mathfrak{n}\rightarrow \mathfrak{z}$ es sobreyectiva para todo $x\notin\mathfrak{z}$ (ver [E]). Equivalentemente, $\mathfrak{n}$ es no singular si la forma antisim\'etrica a valores vectoriales $$[\ ,\ ]: \mathfrak{v}\times \mathfrak{v}\rightarrow \mathfrak{z},$$ donde $\mathfrak{v}=\mathfrak{n}/\mathfrak{z}$, satisface que para todo $\lambda\in\mathfrak{z}^*$, $\lambda\not=0$, se cumple que la 2-forma $\lambda([u,v])$ en $\mathfrak{v}$ es no degenerada. Las \'algebras de tipo Heisenberg, o de {\it tipo $H$}, se obtienen a partir de los spinors(ver [K]). Si $\mathfrak{v}$ es un m\'odulo unitario real sobre el \'algebra de Clifford $Cl(\mathfrak{z})$ asociada a la forma cuadr\'atica de $\mathfrak{z}$, la identidad $$_\mathfrak{z} = _\mathfrak{v}$$ con $z\in \mathfrak{z}\subset Cl(\mathfrak{z})$, $u,v\in \mathfrak{v}$, define un corchete $[\ ,\ ]: \mathfrak{v}\times \mathfrak{v}\rightarrow \mathfrak{z}$ que da a $\mathfrak{n} = \mathfrak{v} \oplus \mathfrak{z}$ una estructura de \'algebra de Lie a 2-pasos no singular. En esta comunicaci\'on se mostrar\'a que entre todas las \'algebras de Lie a 2-pasos nilpotentes, no singulares de determinada dimensi\'on, las \'algebras de tipo $H$ maximizan la dimensi\'on del grupo $Aut(\mathfrak{n})/Aut_0(\mathfrak{n})$, donde $Aut(\mathfrak{n})$ es el grupo de automorfismos y $Aut_0(\mathfrak{n})$ es el grupo de automorfismos que act\'uan trivialmente en el centro de $\mathfrak{n}$. Si el centro es de dimensi\'on dos, es conocido el moduli de \'algebras no singulares ([LT]) y se prueba entonces que las \'algebras de tipo $H$ maximizan $\dim Aut(\mathfrak{n})$. \vskip .5cm [E] {\sc P. Eberlein}, \emph{Geometry of 2-step nilpotent groups with a left-invariant metric}, Annales Scientifiques de l'E.N.S., serie 4, tome 27, No. 5 (1994) [K] {\sc A. Kaplan}, \emph{Fundamental solutions for a class of hypoelliptic PDE generated by composition of quadratic forms}, Trans. Amer. Math. Soc. v. 258, pp. 147--153, (1980). [LT] {\sc F. Levstein} and {\sc A. Tiraboschi}, \emph{Classes of 2-step nilpotent Lie algebras}, Comm. in Algebra {\bf 27} (1999).