Una nueva generalización de la constante de Hermite

WAI KIU CHAN; MARÍA INÉS ICAZA; LAURET, EMILIO

San Miguel de Tucumán

Congreso; Reunión Anual de la Unión Matemática Argentina; 2011

Universidad Nacional de Tucumán

Sea $\mathcal O$ el anillo de enteros de una extensión cuadrática imaginaria $K$ de los números racionales. Para $S$ una matriz $n\times n$ hermítica definida positiva, definimos el mínimo proyectivo de $S$ como $$ \mu^p(S)=\min_{v\in\mathcal O_K^n\smallsetminus \{0\}} \frac{v^*Sv}{N(\langle v\rangle)^2}, $$ donde $\langle v\rangle$ es el ideal de $\mathcal O$ generado por las coordenadas de $v$ y $N$ denota la norma. Introduciremos una nueva generalización de la constante de Hermite sobre formas hermíticas sobre $K$ llamada \emph{constante de Hermite proyectiva}. Ésta está dada por $$ \gamma^p_{K,n} = \sup_{S} \frac{\mu^p(S)}{\det(S)^{1/n}}, $$ donde $S$ recorre todas las matrices $n\times n$ hermíticas definidas positivas. Por medio de un método geométrico, podremos calcularla en el caso binario ($n=2$) para cuerpos de discriminante mayor a $-70$.