Reducción simpléctica aplicada al fibrado cotangente de un grupo de Lie

Tandil

Otro; Reunión Anual de la Unión Matemática Argentina; 2010

Unión Matemática Argentina

Sea $G$ un grupo de Lie de dimensi\'{o}n finita y $T^{*}G$ su fibrado cotangente con la forma simpl\'{e}ctica $\omega_{\Sigma}$ definida a partir de un dos cociclo $\Sigma:\mathfrak{g}\times\mathfrak{g}\rightarrow \mathbb{R}$, donde $\mathfrak{g}$ es el \'{a}lgebra de Lie de $G$. La forma simpl\'{e}ctica $\omega_{\Sigma}$ se obtiene sum\'{a}ndole a la forma simpl\'{e}ctica can\'onica en $T^{*}G$ un t\'{e}rmino que involucra a $\Sigma$, denominado t\'{e}rmino magn\'{e}tico. La variedad simpl\'{e}ctica $(T^{*}G,\omega_{\Sigma})$ se llama fibrado cotangente magn\'{e}tico. A partir de variedades simpl\'{e}cticas los m\'{e}todos de reducci\'{o}n permiten construir nuevas variedades de este tipo; en particular nos interesa el m\'{e}todo de reducci\'{o}n \'{o}ptima, introducido por Ortega y Ratiu [OR1], ya que una de las caracter\'{i}sticas m\'{a}s importantes que tiene es que sirve para casos en los que no es posible aplicar la t\'{e}cnica de reducci\'{o}n simpl\'{e}ctica de Marsden y Weinstein. Este es el caso de $(T^{*}G,\omega_{\Sigma})$ con la acci\'{o}n natural inducida por las traslaciones a izquierda, pues al aparecer el t\'{e}rmino magn\'{e}tico la acci\'{o}n en general no admite una aplicaci\'{o}n momento est\'{a}ndard. En [OR2] se demuestra un teorema de reducci\'{o}n \'{o}ptima para $(T^{*}G,\omega_{\Sigma})$. En este trabajo describiremos variedades simpl\'{e}cticas obtenidas al aplicar este resultado para diferentes grupos de Lie $G$ y variando el dos cociclo $\Sigma$. \begin{thebibliography}{Dixm} \bibitem [OR1]{} J.-P. Ortega, T.S. Ratiu, \emph{The optimal momentum map}, Geometry, Dynamics, and Mechanics: 60th Birthday Volume for J.E. Marsden. P. Holmes, P. Newton, and A. Weinstein, eds., Springer-Verlag, New York, 2002, arXiv.org:math.SG/0203040. \bibitem [OR2] {}J.-P. Ortega, T.S. Ratiu, \emph{The reduced spaces of a symplectic Lie group action}, Annals of Global Analysis and Geometry {\bf 30} (4) (2006), 335-381. \end{thebibliography}