La unicidad de la conexión canónica en espacios naturalmente reductivos

CARLOS OLMOS; SILVIO REGGIANI

Tandil

Congreso; Reunión anual de la Unión Matemática Argentina; 2010

Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires

En trabajos previos estudiamos la unicidad de la conexión canónica en espacios naturalmente reductivos compactos. En particular, a partir de este resultado uno determina completamente el grupo de isometrías de un espacio naturalmente reductivo compacto. En efecto, sea $M$ un espacio naturalmente reductivo compacto y sea $ abla^c$ la conexión canónica asociada (a una cierta descomposición reductiva). Asumamos que $M$ es localmente irreducible y que no es globalmente isométrico a la esfera $S^n$ , al espacio proyectivo $mathbb RP^n$ , ni a un grupo de Lie con métrica bi-invariante. Entonces $ abla^c$ es unica.Recientemente hemos extendido este resultado al caso no compacto. Más precisamente, si $M$ es un espacio naturalmente reductivo no compacto, simplemente conexo, localmente irreducible y no globalmente isométrico al dual simétrico de un grupo de Lie compacto, entonces la conexión canónica es unica. Más aún, para el dual de la esfera, el espacio hiperbólico $H^n$ , existe una unica descomposición naturalmente reductiva.El enfoque de este trabajo es puramente geométrico y las pruebas de nuestros resultados principales se basan en un resultado de descomposición para espacios naturalmente reductivos y en un teorema tipo Berger, el Skew-torsion Holonomy Theorem, que también probamos geométricamente.