Una metodología para el estudio de la frecuencia de ciclos límite en ecuaciones diferenciales con retardo

COBIAGA, ROMINA; REARTES, WALTER

Bahía Blanca

Congreso; XIV Congreso Dr. Antonio Monteiro; 2017

Departamento de Matemática - INMABB, UNS

En este trabajo se consideran sistemas de ecuaciones diferenciales con retardo [3], del tipox 0 1 (t) = f 1 (x 1 (t), x 2 (t), x 1 (t − τ ), x 2 (t − τ ), μ)x 0 2 (t) = f 2 (x 1 (t), x 2 (t), x 1 (t − τ ), x 2 (t − τ ), μ).Suponiendo que este sistema tiene un ciclo lı́mite, se quiere estudiar la dependencia de lafrecuencia de dicho ciclo con el parámetro μ. En particular interesa saber si ésta es constante.La metodologı́a desarrollada consiste en considerar a la familia de ciclos lı́mite como función deltiempo y del parámetro, hacer un cambio de coordenadas en el tiempo y derivar las ecuacionescorrespondientes respecto de μ. Se genera entonces un sistema de ecuaciones diferenciales linea-les no autónomas con retardo para las variaciones de las coordenadas respecto de μ (sistemaauxiliar).Se puede ver que la familia de ciclos lı́mite es isocrónica, es decir, su frecuencia no dependedel parámetro, si y solo si el sistema lineal construido anteriormente tiene soluciones periódicasde perı́odo 2π.En este trabajo las soluciones del sistema auxiliar se han obtenido numéricamente, sin embar-go podrı́an aplicarse métodos analı́ticos para dicho fin. Se muestran varios ejemplos de familiasiscrónicas y no isocrónicas, ver también [1, 2].Se ha observado que en ciertos casos, como los mostrados en [2] existen infinitos ciclos deperı́odo 2π del sistema auxiliar. Este fenómeno presenta interés en sı́ mismo y se ha analizadocon detalle.Referencias[1] A. Bel y W. Reartes. The homotopy analysis method in bifurcation analysis of delay diffe-rential equations. International Journal of Bifurcation and Chaos, 22(8), 2012.[2] A. Bel y W. Reartes. Isochronous bifurcations in second-order delay differential equations.Electronic Journal of Differential Equations, 2014(162):1?12, 2014.[3] J. K. Hale y S. M. Verduyn Lunel. Introduction to Functional Differential Equations, volu-men 99 de Applied Mathematical Sciences. Springer?Verlag, 1993.