Errores 'a posteriori' y mejoramiento de la valuación de opciones financieras dependientes del camino

MARTA BERGALLO; CARLOS NEUMAN; VICTORIO SONZOGNI

Santa Fe

Congreso; ENIEF 2006 XV Congreso sobre Métodos Numéricos y sus Aplicaciones; 2006

AMCA - UNL

Con el objetivo de obtener estimaciones de errores ‘a posteriori’ y mejorar la aproximación de las soluciones numéricas, se estudian métodos de extrapolación y de mallas mixtas para el problema de valuación de opciones Asiáticas de compra y venta de activos financieros. Estos derivados, que se negocian entre partes fuera de mercados estándar, resultan ser de una variedad de tipos que se definen en el artículo y están asociados con el cálculo de promedios de los valores del activo subyacente, lo que las hace pertenecer a la clase de opciones dependientes del camino, lo que resulta en principio en el crecimiento de la complejidad computacional en las aproximaciones numéricas. En el caso usual de realizar promedios aritméticos solo existen en la literatura expresiones aproximadas para valuarlos, razón por la cual las estimaciones numéricas utilizando el denominado modelo trinomial (equivalente al método de diferencias finitas explícitas aplicado a la ecuación de Black-Scholes-Merton correspondiente) son una alternativa razonable siempre que   1.      se puedan estimar los errores de aproximación,   2.      se puedan mejorar las soluciones aproximadas para lograr una valuación ajustada, y   3.      se puedan diseñar algoritmos de construcción de esta solución aproximada con una complejidad computacional manejable. Los tres puntos mencionados se tratan en detalle en el presente trabajo y se desarrollan métodos que se extienden, con las modificaciones necesarias, a otros tipos de opciones dependientes del camino.Se efectúan asimismo comparaciones con las soluciones aproximadas al problema que se obtienen de la literatura.Para la obtención de resultados respecto de los puntos (1) y (2) se utilizan mallas trinomiales y refinamientos de las mismas con conjuntos coincidentes de nodos en los cuales se realizan promedios con los pesos adaptados al orden numérico del algoritmo base. El ajuste de estas mallas mixtas de manera de respetar las propiedades de evolución del valor del activo y su volatilidad es uno de los aspectos delicados del método.En lo que respecta al punto (3) se utiliza un sistema de interpolación y cálculo de promedios que reduce considerablemente una de las fuentes de complejidad. Asimismo se establece una estrategia de recorrido de los nodos que conduce a reducir el restante factor generador de complejidad numérica.