Primeros Conceptos de Análisis Complejo

D.E. FERREYRA; L.J. GONZÁLEZ; F.E. LEVIS

EdUNLPam

Lugar: Santa Rosa - La Pampa; Año: 2019 p. 184

978-950-863-341-5

El análisis complejo clásico es un área que ha sido desarrollada principalmente a partir del siglo XIX. Esta área de la matemática no ha detenido su desarrollo allí sino que ha continuado creciendo desde entonces. En la actualidad existen importantes trabajos de investigación sobre temas correspondientes al análisis complejo, como así también investigaciones relacionadas a otras áreas del conocimiento que hacen uso de los temas y resultados del mismo, como por el ejemplo en el campo de la Física.Este libro está basado en las notas de clase que los autores redactaron para los cursos de Análisis III, de la carrera de Licenciatura en Matemática de la Universidad Nacional de La Pampa, y de Variable Compleja y Análisis de Fourier, de la carrera de Licenciatura en Matemática de la Universidad Nacional de Río Cuarto.Los resultados expuestos en este libro corresponden a un curso introductorio de la teoría de funciones de una variable compleja, y como tal se busca transmitir al estudiante la habilidad para calcular límites, derivadas, integrales, series de potencias, la comprensión intuitiva y su relación con otras ramas de la matemática, todo esto con el fin de prepararlos para cursos posteriores.Es nuestra intención en este material, en lo posible, poner el acento en el rigor de las deducciones y en los aspectos conceptuales, sin dejar de lado la intuición de los estudiantes acerca de los conceptos del análisis complejo. Ésto es, tratar de que el estudiante se convenza de que la precisión y el rigor no constituyen ni obstáculos para la intuición ni tampoco fines en sí mismos, sino simplemente el medio natural para formular y tratar las cuestiones matemáticas.Aunque ésto implique mucho trabajo tanto para el profesor como para el estudiante, creemos que a futuro tiene, en el mejor entendimiento del tema, su recompensa, tanto para el que está interesado en las aplicaciones como para el que desee introducirse en las matemáticas superiores. Los temas desarrollados en este libro son bien conocidos y están basados en varios textos clásicos, los que a nuestro entender dan más rigurosidad y comprensión del tema, pero que al mismo tiempo no escapan de nuestro objetivo principal, que es brindar un texto introductorio. Los contenidos están desarrollados en 7 capítulos. En el capítulo 1 introducimos los números complejos, operaciones de suma y producto entre ellos que le dan una estructura de cuerpo, y sus propiedades algebraicas más relevantes. Otras nociones importantes que estudiaremos son la de módulo y argumento de un número complejo. El capítulo 2 está dedicado al estudio de las nociones topológicas en el plano complejo. Como podemos identificar isomórficamente a $mathbb{C}$ con $mathbb{R}^2$, muchas de las nociones consideradas aquí son similares o totalmente análogas a las nociones topológicas estudiadas en el plano real $mathbb{R}^2$ en un curso de análisis en varias variables.En el capítulo 3 tratamos algunos hechos elementales sobre series infinitas en $mathbb{C}$ que tienen una gran analogía a series infinitas en $mathbb{R}$. Seguidamente, damos la definición y propiedades básicas de una serie de potencias, y desarrollamos algunas herramientas esenciales sobre las mismas.En el capítulo 4 estudiamos el concepto de función analítica, el cual podría decirse a grandes rasgos, que es el tema principal de estudio del análisis complejo. Para ello desarrollaremos el concepto de diferenciabilidad de funciones complejas y luego nos enfocaremos en algunas de las funciones complejas elementales más usuales. Además introduciremos el concepto de aplicaciones conformes y en particular hacemos hincapié en una ellas llamadas Transformaciones de M"{o}bius. En el capítulo 5 mostramos uno de los resultados principales de este texto, conocido como el Teorema de Cauchy, el cual es central en el desarrollo subsiguiente de la teoría y sus aplicaciones, tales como el Teorema de Liouville, el Teorema de Morera y el Teorema Fundamental del Álgebra, entre otros.En el capítulo 6 retornamos con los tópicos de series, más precisamente series de funciones. Estas herramientas nos permiten concentrarnos en las series de Taylor y de Laurent. También mostraremos un resultado fundamental en la teoría de funciones de una variable compleja conocido como el Principio de Prolongación Analítica.En el capítulo 7 estudiamos ponemos especial interés en el comportamiento de las funciones que no son diferenciables en un punto pero si en un entorno de él. En conexión con estos tópicos incluimos el Teorema de los Residuos y sus aplicaciones al cálculo de integrales impropias.