Un nuevo concepto de derivada y su mejor aplicación a mejor aproximación

M. ROLDÁN; F.E. LEVIS; D. E. FERREYRA

Mendoza

Congreso; LXVIII Reunión Anual de Comunicaciones Científicas; 2019

Unión Matemática Argentina

Varios autores han considerado a través de los años derivadas de orden superior de diferentes tipos, y los resultados obtenidos aparecen en varias revistas durante un largo período de tiempo. Por ejemplo, la Lp-derivada se originó en 1961 a partir de un trabajo de A.P. Calderón y A. Zygmund y fue muy utilizada en los años posteriores. Recientemente en 2015, H. Cuenya y D. Ferreyra dieron un nuevo concepto de suavidad de una función, más precisamente, introdujeron la condición Cp en Lp, que resulta ser más débil que la Lp-derivada y dio lugar a un nuevo concepto de derivada para funciones en L2. El problema de encontrar el mejor algoritmo para aproximar un conjunto de datos, que resultan de valores de una función y sus derivadas en un conjunto de puntos de muestra, se desarrolla en la teoría de mejor aproximación local. Más precisamente, esta teoría estudia el comportamiento asintótico de las mejores aproximaciones en pequeñas regiones de los puntos de muestreo. Este problema fue presentado formalmente y estudiado por C.K. Chui, O. Shisha y P.W. Smith, cuando se usa la norma del supremo en 1975. Sin embargo, el inicio de este tema de estudio podría remontarse a los resultados de J.L. Walsh (1934) quien demostró que el polinomio de Taylor de una función analítica f es el límite de la red de las mejores aproximaciones polinomiales (Tchebychev) de un grado dado, reduciendo el dominio a un solo punto. En 1978 se usó un método diferente para estudiar el caso L2, considerando funciones con derivadas en el sentido ordinario. Tiempo después, este problema se extendió para las funciones que tienen L2-derivada , y más recientemente en 2015, se consideró la existencia de la mejor aproximación local para una clase de funciones que satisfacen la condición C2. Todos los trabajos mencionados anteriormente, sólo dieron condiciones suficientes para la existencia de la mejor aproximación local a una función. En este trabajo presentamos y estudiamos un nuevo concepto de derivada, y luego caracterizamos la clase de todas las funciones en L2 para las cuales existe la mejor aproximación local. Además, analizamos una propiedad topológica del conjunto de puntos clausura de la red de mejores aproximaciones para una función, cuando se asume cierto orden de suavidad de la misma.