Estudio de soluciones analíticas para $xv??+(2n+1)v?+xv=0$ mediante la ecuación de Bessel

ALFIO ANTONIO RODRIGUEZ; PABLO YONAR

Salta

Encuentro; Primer encuentro regional de la Unión Matemática Argentina; 2017

Unión Matemática Argentina y Universidad Nacional de Salta

La ecuación diferencial ordinaria de segunda orden homogénea de coeficientes variables \[x^2y??+xy?+(x^2-\alpha^2)y=0\]con $Re(\alpha)\geq 0$ es una ecuación de Bessel, donde $y$ es una función compleja de variable real $x$. Es sabido que tal ecuación posee un punto singular regular en $x_0=0$, por ende se tiene especial interés en el estudio de soluciones alrededor de este punto. A tal fin se conocen las funciones de Bessel de orden $\alpha$ de primera y segunda clase, para determinar una base para la solución general de esta ecuación; estas son respectivamente para $x>0$:\[ J_{\alpha}(x)=(\dfrac{x}{2})^{\alpha}\sum_{m=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{m!\Gamma(m+\alpha+1)(\dfrac{x}{2})^{2m}}\]\[ K_{\alpha}(x)=-\dfrac{1}{2}(\dfrac{x}{2}^{-\alpha}) \sum_{m=0}^{\alpha -1}\dfrac{(\alpha-m-1)!}{m!}(\dfrac{x}{2})^{2m} - \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{\alpha !} (\dfrac{x}{2})^{\alpha} \sum_{m=1}^{\alpha}\dfrac{1}{m} - \dfrac{1}{2}(\dfrac{x}{2})^{\alpha} \sum_{1}^{\infty} \dfrac{(-1)^n}{m!(m+\alpha)! (\sum_{j=1}^{m}\dfrac{1}{j} + \sum_{j=1}^{m+\alpha}\dfrac{1}{j}) (\dfrac{x}{2})^{2m} + log(x) J_{\alpha}(x) \]Para encontrar soluciones a la ecuación diferencial \[ xv??+(2n+1)v?+xv=0 \] (*)recurrimos a la transformación $v=\dfrac{y}{x^n}$ donde $n$ es un entero positivo, a través de la cual (*) se transforma en la ecuación de Bessel y, así es posible, a partir de $ J_{\alpha}$ y $ K_{\alpha}$ estudiar soluciones analíticas convergentes de (*). Llegado este punto es necesario analizar la naturaleza de $n$ en conjunción con la de $\alpha$, en virtud de aplicar teoremas de la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias. Para ello hemos realizado un análisis organizado según el campo numérico de estos parámetros concluyendo una base para la solución general de (*).Bibliografía[1] Coddington, E. & Levinson, N. (1955). Theory of ordinary differential equations. New York, N.Y.: McGraw-Hill Book Company, Inc.[2] Coddington, E. (2007). Introduction to ordinary differential equation. New Delhi : Prentice-Hall