Líneas geodésicas: una generalización

ALFIO ANTONIO RODRIGUEZ; GONZALO LOPEZ

San Carlos de Bariloche

Encuentro; Tercer encuentro regional de la Unión Matemática Argentina; 2018

Unión Matemática Argentina y Centro Regional Universitario de Bariloche (UNCo)

En un curso básico de geometría diferencial se adquieren herramientas para abordar un primer concepto (o una primera idea) de una curva geodésica. Las geodésicas son soluciones para un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden que varían según la superficie a las que están confinadas. Geométricamente una geodésica sobre una superficie es una curva simple en ella, de manera tal que para cualquier par de puntos de la curva, la porción de curva que los conecta es también el camino más corto entre ellos en la superficie [1].En este trabajo generalizamos este concepto y lo enmarcamos dentro del estudio de variedades diferenciales. Veremos que una geodésica sobre una variedad dependerá en gran medida del par (variedad, métrica) que ´ esta posea. Con este propósito desarrollaremos la idea de campo vectorial paralelo a lo largo de una curva sobre la variedad, generalizando el concepto de derivada covariante para el estudio de variedades. Con esto lograremos obtener la definición de una geodésica en una variedad [2] [3]. También veremos que la condición de camino más corto entre dos puntos de la variedad adquiere sentido con la noción de distancia sobre la variedad, que nos brinda la métrica asociada.Para ilustrar estos conceptos mostraremos ejemplos de geodésicas calculadas analítica o numéricamente según el sistema de ecuaciones asociados al par (variedad, métrica).Referencias:[1] Do Carmo, M. P. (2016). Differential Geometry of Curves and Surfaces: Revised and Updated Second Edition. Courier Dover Publications.[2] Do Carmo, M. P. (1992). Riemannian geometry. Birkhauser.[3] Lee, J. M. (2006). Riemannian manifolds: an introduction to curvature (Vol. 176). Springer Science & Business Media.