Representabilidad de Conjuntos convexos Mediante Sistemas Semi-Infinitos Analíticos

JAUME, DANIEL A; PUENTE, RUBEN

Universidad Nacional de San Luis, San Luis

Congreso; LI Reunión Anual de Comunicaciones Científicas, la XXIV Reunión de Educación Matemática y el XIII Encuentro de Estudiantes de Matemática”; 2001

Unión Matemática Argentina-Universidad Nacional de San Luis

    Cualquier conjunto convexo cerrado C⊂Rⁿ es representable mediante un sistema continuo: ={a(t)′x≥b(t),t∈T} donde T es un espacio Hausdorff compacto, y todos los coeficientes a(⋅),b(⋅) son funciones continuas. Cuando T es un intervalo cerrado en R y las funciones a(⋅),b(⋅) son analíticas el sistema  se dice analítico <cite>GyL</cite>. Para problemas de Programación Lineal Semi-Infinta donde el sistema de restricciones es analítico , existen algoritmos que aprovechan las buenas propiedades geométricas des estos sistemas.    M. Goberna y otros, ref. <cite>GJPyT</cite>, demostraron que todo conjunto convexo poliédrico es representable analíticamente, pero que las bolas cerradas de dimensión mayor que 2 no lo son, dejando abierta la caracterización de la clase de los conjuntos convexos cerrados representables analíticamente.    La ponencia presenta criterios de no-representabilidad analítica que permiten demostrar que "casi ningún" conjunto convexo cerrado de Rⁿ (con n>2) es representable analíticamente. Especificamente, ni los los cuerpos convexos suaves de dimensión mayor que 2 ni los cuasipoliédricos no poliédricos, son representables analíticamente. Esto sugiere que la teoría de los sistemas analíticos debe enfocarse a conjuntos convexos cerrados en el plano.  GJPyT : Goberna, M.A., Jornet, V., Puente, R., Todorov, M. I. (1999). Analytical Linear Inequality Systems and Optimization, Journal of Optimization Theory and Applications: Vol. 103, No.103, pp. 95-119. GyL : Goberna, M. and López, M. (1998). Linear Semi-Infinite Optimization, Wiley Series in Mathematical Methods in Practice, John Wiley & Sons.