Problemas Variacionales con Derivadas Fraccionarias de Caputo.

MELANI BARRIOS; DRA. REYERO GABRIELA; LIC. GOOS DEMIAN

Jornada; IX Jornada de Ciencia y Tecnología 2015.; 2015

ESTUDIO DE ALGUNOS PROBLEMAS VARIACIONALES CON DERIVADAS FRACCIONARIAS.Barrios, M.; Goos, D.; Reyero, G.Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura. Universidad Nacional de Rosario. E-mail: melani@fceia.unr.edu.ar.Las derivadas e integrales de orden fraccionario fueron introducidas hace más de tres siglos atrás, pero sólo recientemente han ganado más atención debido a sus aplicaciones en fenómenos no locales. Motivado por numerosas aplicaciones en física y en otras ciencias, el cálculo variacional fraccionario actualmente se encuentra en rápido desarrollo. En este trabajo consideramos problemas variacionales de la forma: hallar y perteneciente a un espacio de funciones, donde las derivadas fraccionarias existen y son continuas, que minimice el funcional J(y)=∫_a^b▒〖L(x,y,(_a^C) D_x^α 〗 y ,(_x^C) D_b^β y)dx donde en la función Langrangiana L aparecen (_a^C) D_x^α y, (_x^C) D_b^β y las derivadas de Caputo por derecha y por izquierda de orden α,β ϵ (0,1). Se consideran diferentes condiciones de optimalidad, particularmente, la ecuación de Euler-Lagrange fraccionaria: ∂L/∂y+(_x^ ) D_b^α ∂L/(∂(_a^C) D_x^α y)+(_a^ ) D_x^β ∂L/(∂(_x^C) D_b^β y)=0. Se plantean varios problemas variacionales fraccionarios: con condiciones de contorno fijas o libres e isoperimétricos con restricción integral que también dependen de derivadas fraccionarias de Caputo. Específicamente se da solución a algunos ejemplos: minimizar el funcional J(y)=∫_0^1▒〖[(_0^C) D_x^α 〗 [y]^2 (x)]dx sujeto a las condiciones I(y)=∫_0^1▒[ y(x)]dx=1, y(0)=0 y y(1)=0, y minimizar el funcional J(y)=∫_a^b▒〖[K+1/2 (_0^C) D_x^α 〗 [y]^2 (x)]dx sujeto a las condiciones I(y)=∫_a^b▒[-1/2 y(x)^2]dx=l, y(a)=y_a y y(b)=y_b , siendo a,b,K,l,y_a e y_b constantes .