Análisis de Algunos Problemas Variacionales Fraccionarios.

DRA. REYERO GABRIELA; LIC. GOOS DEMIAN; MELANI BARRIOS

Congreso; LXIV Reunión Anual de comunicaciones científicas (UMA).; 2015

\begin{center}\textsc{{\large Análisis de algunos problemas variacionales fraccionarios}\\[0pt]} \vspace{0.4cm} \hspace{0.2cm}Melani Barrios$^{\ast }$\hspace{1.1cm}DemianGoos$^{\#}$\qquad Gabriela Reyero$^{\ast }$\\[0pt]{\footnotesize melani@fceia.unr.edu.ar\hspace{0.4cm}demian@fceia.unr.edu.ar%\hspace{0.4cm}greyero@fceia.unr.edu.ar}\\[0pt]{\footnotesize $^{\ast }$ Fac. Cs. Exactas, Ing. y Agrim. -- Univ. Nac.Rosario\qquad \qquad $^{\#}$ Conicet-Fac. Cs. Exactas, Ing. y Agrim. --Univ. Nac. Rosario}\\[0pt]\end{center}Las derivadas e integrales de orden fraccionario fueron introducidas hace má%s de tres siglos atrás, pero sólo recientemente han ganado más atencióndebido a sus aplicaciones en fenomenos no locales. Motivado por numerosasaplicaciones en física y en otras ciencias, el cálculo variacionalfraccionario actualmente se encuentra en rápido desarrollo. En este trabajoconsideramos problemas variacionales de la forma: hallar $y\in\,_{a}^{\alpha }E_{b}^{\beta }$ , que minimice el funcional \[J(y)=\int_{a}^{b}L(x,y,\,_{a}^{C}D_{x}^{\alpha }y,\,_{x}^{C}D_{b}^{\beta}y)\,dx\]donde en la función Lagrangiana $L$ aparecen $\,_{a}^{C}D_{x}^{\alpha }y$, $%\,_{x}^{C}D_{b}^{\beta }y$ las derivadas de Caputo por derecha y porizquierda de orden $\alpha ,\beta \,\in (0,1)$ y$\,_{a}^{\alpha}E_{b}^{\beta }$ es un espacio de funciones, donde las derivadasfraccionarias existen y son continuas. Se consideran diferentes condicionesde optimalidad, particularmente, la ecuación de Euler-Lagrange fraccionaria: \[\frac{\partial L}{\partial y}+\,_{x}D_{b}^{\alpha }\frac{\partial L}{%\partial \,_{a}^{C}D_{x}^{\alpha }y}+\,_{a}D_{x}^{\beta }\frac{\partial L}{%\partial \,_{x}^{C}D_{b}^{\beta }y}=0.\]Se plantean varios problemas variacionales fraccionarios: con condiciones decontorno fijas o libres, isoperimétricos con restricción integral que tambié%n dependen de derivadas fraccionarias de Caputo y se presentan algunosejemplos.\begin{thebibliography}{9}\bibitem{Agr1} Agrawal O.P., Generalized Euler-Lagrange equations andtransversality conditions for FVPs in terms of the Caputo derivative. J. ofVibration and Control. 13(9-10), pp1217-1237, (2007).\bibitem{Agr2} Agrawal O.P., Formulation of Euler-Lagrange equations forfractional variational problems, J. Math. Anal. Appl. 272(1) pp. 368-379(2002)\bibitem{AlmTo} Almeida R., Torres D., Neccesary and sufficient conditionsfor the fractional calculus of variations with Caputo derivatives.arXiv:1007.2937v1, 2010.\bibitem{AlmFeTo} Almeida R., Ferreira R., Torres D., Isoperimetricproblems of the calculus of variations with fractional derivatives.arXiv:1105.2078v1, (2011).\bibitem{MalOdTo} Malinowska A.B., Odzijewicz T., Torres D., \emph{Advancesmethods in the fractional calculus of variations}, Springer, (2015).\bibitem{MalTo} Malinowska A.B., Torres D., Generalized natural boundaryconditions for fractional variational problems in terms of the Caputoderivative, Comput. Math. Appl. 59(9), 3110-3116, (2010).\end{thebibliography}